As equações de Navier-Stokes podem ser escritas na forma vetorial como:
Adimensionalize a parcela transversal da equação para um escoamento bidimensional:
Sendo que o escoamento tem como referência um comprimento , uma velocidade de entrada e uma massa específica .
Quais são os fatores adimensionais que apareceram?
Passo 1
Então pessoal vamos com calma, vamos encontrar as variáveis do problema:
Vamos dizer que a função que temos é
Temos então nove variáveis. Com as seguintes diemensões:
Logo temos apenas dimensões, o que nos dá pelo menos grupos pis.
Sei que parece muito mas veremos que é muito mais simples. Lembre-se de usar as variáveis repetitivas e .
Passo 2
Encontraremos o primeiro grupo pi, que arbitrariamente será o de :
Lembrando que montamos o sistema igualando os expoentes de . Logo o sistema fica:
Neste caso: , , .
Nosso primeiro adimensional é
Adimensionaremos agora o tempo :
O sistema é:
A solução é , , . O que nos dá o adimensional:
Seguinto nossas adimensionalizações, agora para a pressão :
A solução fica , e
Próxima adimensionalização é de :
, , :
Adimensionalização de :
, ,
A adimensionalização de é a mesma pois tem a mesma dimensão:
, ,
Passo 3
Repare que encontramos grupos pis e não , calma que não tem problema, provavelmente termos alguma redundância, ou seja, coisas se repetirão.
Vamos com calma olhando cada termo e as peculizaridades de de adimensionalizar derivadas e infinitésimos.
Começaremos substituindo os nossos adimensionais em :
Podemos escrever e , substituindo na expressão:
Sendo
Como é constante pode sair da derivada.
Aplicando o mesmo procedimento aos outros termos:
:
:
:
O que nos dá a seguinte equação:
Perceba que o fator aparece em todos os termos então podemos dividir a equação toda por isso, logo:
Que é nossa forma adimensional da equação Navier-Stokes.
Passo 4
Se olharmos os termos e , temos dois números muito conhecidos:
Os famosos números de Froude e Reynolds. Podemos dizer que a equação é então:
Resposta
Apareceram o número de Froude e de Reynolds .