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Exercícios Resolvidos de Equações Adimensionalizadas

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Exercício 41235678910111213

Enunciado

A equação diferencial para vibrações de pequena amplitude y ( x ,   t ) de uma viga simples é dada por

ρ A ∂ 2 y ∂ t 2   + E I ∂ 4 y ∂ x 4 = 0

em que

ρ = massa específica do material da viga

A = área da seção transversal

I = momento de inércia de área

E = módulo de Young

Use apenas as grandezas ρ ,   E e A para adimensionalizar y ,   x e t e reescreva a equação diferencial na forma adimensional. Alguns parâmetros permanecem? Eles poderiam ser eliminados por manipulações adicionais de variáveis?

Passo 1

Agora que já adimensionalizamos as duas equações básicas da Mecânica dos Fluidos, vamos aplicar o conceito a outras equações e ver que podemos ter efeitos úteis nos nossos estudos.

No caso o exercício já nos diz quais variáveis repetitivas utilizar ρ , E , A e quais adimensionais queremos y * , x * , t * .

As unidades de cada um são:

ρ = M L - 3

E = M L - 1 T - 2

A = { L 2 }

y = L

x = L

t = T

Passo 2

Formaremos o grupo pi adimensional y * :

ρ a E b A c y = M 0 L 0 T 0

M L - 3 a M L - 1 T - 2 b { L 2 } c L = M 0 L 0 T 0

Logo nosso sisteminha tem a cara:

a + b = 0 - 3 a - b + 2 c + 1 = 0 - 2 b = 0

A solução é b = 0 , a = 0 , c = - 1 2

Portanto,

y * = y A

Como x tem a mesma dimensão, espera-se o mesmo comportamento, logo

x * = x A

Para t * :

ρ a E b A c t = M 0 L 0 T 0

M L - 3 a M L - 1 T - 2 b { L 2 } c T = M 0 L 0 T 0

a + b = 0 - 3 a - b + 2 c = 0 - 2 b + 1 = 0

A solução é b = 1 2 , a = - 1 2 , c = - 1 2

t * = t E ρ A

Passo 3

Substituindo na equação:

ρ A ∂ 2 y ∂ t 2 + E I ∂ 4 y ∂ x 4 = 0

ρ A E ρ A 2 ∂ 2 ∂ t * 2 y * A + E I A 4 ∂ 4 ∂ x * 4 y * A = 0

Arrumando a casa:

E A ∂ 2 y * ∂ t * 2 + E I A 3 ∂ 4 y * ∂ x * 4 = 0

Passo 4

Vemos que ainda podemos eliminar E da equação, pois está em ambos fatores:

A ∂ 2 y * ∂ t * 2 + I A 3 ∂ 4 y * ∂ x * 4 = 0

Se analisarmos as dimensões que sobraram vemos que:

A = L

I A 3 = L 4 L 3 = { L }

Ou seja aind anão está totalmente adimensionalizada a equação. Poderíamos simplesmente dividir ambos lados da equação por A , e consequentemente teríamos uma equação completamente adimensional.

O resultado então é:

∂ 2 y * ∂ t * 2 + I A 2 ∂ 4 y * ∂ x * 4 = 0

Resposta

A ∂ 2 y * ∂ t * 2 + I A 3 ∂ 4 y * ∂ x * 4 = 0

Após manipulações:

∂ 2 y * ∂ t * 2 + I A 2 ∂ 4 y * ∂ x * 4 = 0

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