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Exercícios Resolvidos de Equações Adimensionalizadas

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Exercício 71234568910111213

Enunciado

A equação diferencial para o escoamento não viscoso compressível de um gás no plano xy é

∂ 2 ϕ ∂ t 2 + ∂ ∂ t u 2 + v 2 +   u 2 - a 2 ∂ 2 ϕ ∂ x 2 + v 2 - a 2 ∂ 2 ϕ ∂ y 2 + 2 u v ∂ 2 ϕ ∂ x ∂ y = 0

na qual ϕ é o potencial de velocidade e a é a velocidade (variável) do som do gás. Adimensionalize essa relação, usando um comprimento de referência L e a velocidade do som de entrada a 0 como parâmetros para definir variáveis adimensionais.

Passo 1

Temos uma equação bem grandinha, mas o enunciado já dá as referências. Vamos começar então identificando as variáveis e suas dimensões.

ϕ ,   t ,   u ,   v ,   a ,   x ,   y

São 7 variáveis. Agora, vamos encontrar suas dimensões

t = T

u = L T - 1

v = L T - 1

a = L T - 1

x = L

y = L

E qual a dimensão do potencial de velocidade ϕ ? Para essa equação ser consistente, as parcelas precisam ter as mesmas dimensões.

A estratégia para encontrar as dimensões de uma variável que ainda não conhecemos é comparar as dimensões de uma parcela que tenha essa variável com as dimensões de outra parcela que a gente já conheça.

Nesse exercício, vamos comparar a primeira e a segunda parcela. Primeira:

∂ 2 ϕ ∂ t 2 =   ϕ T 2

Segunda parcela:

∂ ∂ t u 2 + v 2 =   L T - 1 2 T = L 2 T - 3

Igualando as dimensões das parcelas

ϕ T 2 = L 2 T - 3 ⇒ ϕ = L 2 T - 1

Yeees! Agora sim. Encontramos as dimensões das 7 variáveis e elas contém apenas 2 das dimensões básicas. 7   –   2   =   5  

Então vamos utilizar 5 grupos pi para adimensionalizar nossa equação. :D

Passo 2

Notícia boa: o enunciado já deu algumas referências: um comprimento de referência L e a velocidade do som de entrada a 0

Então, podemos definir como variáveis adimensionais x * e y * ao dividir as variáveis originais x e y pelo comprimento de referência L

x * = x L   ⇒ x = L x *

y * = y L ⇒ y = L y *

Analogamente, podemos definir as velocidades adimensionais u * , v * e a * como a razão entre u ,   v ,   a pela velocidade do som de entrada a 0 respectivamente

u * =   u a 0 ⇒ u = a 0 u *

v * =   v a 0 ⇒ v = a 0 v *

a * =   a a 0 ⇒ a = a 0 a *

Por sua vez, o tempo adimensional é definido em termos de a 0 e L

t * = a 0 L t =   L T - 1 L T = { 1 }

Logo

t * = a 0 t L ⇒ t = L t a 0 *

Além disso, o potencial de velocidade é adimensionalizado assim:

ϕ * = ϕ a 0 L =   L 2 T - 1 L T - 1 L = { 1 }

Então

ϕ * = ϕ a 0 L ⇒ ϕ = a 0 L ϕ *

Já temos as variáveis adimensionalizadas. Agora vamos substituir na equação original:

∂ 2 ϕ ∂ t 2 + ∂ ∂ t u 2 + v 2 +   u 2 - a 2 ∂ 2 ϕ ∂ x 2 + v 2 - a 2 ∂ 2 ϕ ∂ y 2 + 2 u v ∂ 2 ϕ ∂ x ∂ y = 0

Substituindo

∂ 2 ( a 0 L ϕ * ) ∂ L t a 0 * 2 + ∂ ∂ L t a 0 * ( a 0 u * ) 2 + ( a 0 v * ) 2 +   ( a 0 u * ) 2 - ( a 0 a * ) 2 ∂ 2 ( a 0 L ϕ * ) ∂ ( L x * ) 2 + ( a 0 v * ) 2 - ( a 0 a * ) 2 ∂ 2 ( a 0 L ϕ * ) ∂ ( L y * ) 2 + 2 ( a 0 u * ) ( a 0 v * ) ∂ 2 ( a 0 L ϕ * ) ∂ ( L x * ) ∂ ( L y * ) = 0

Essa equação ficou enorme! Mas relaxa, daqui para frente não vai ter nada de surreal. Só vamos precisar de paciência para reorganizar isso aí e deixar bacana a resposta final 😉

Vamos lá! Mãos à obra. Colocando as constantes para fora das derivadas:

a 0 L L a 0 2 ∂ 2 ϕ * ∂ t * 2 + a 0 2 L a 0 ∂ ∂ t * u * 2 + v * 2 +   a 0 3 L L 2 u * 2 - a * 2 ∂ 2 ϕ * ∂ x * 2 + a 0 3 L L 2 v * 2 - a * 2 ∂ 2 ϕ * ∂ y * 2 + a 0 3 L L 2 2   u * v * ∂ 2 ϕ * ∂ x * ∂ y * = 0

Tá diminuindo, vamos continuar

a 0 3 L ∂ 2 ϕ * ∂ t * 2 + a 0 3 L ∂ ∂ t * u * 2 + v * 2 +   a 0 3 L u * 2 - a * 2 ∂ 2 ϕ * ∂ x * 2 + a 0 3 L v * 2 - a * 2 ∂ 2 ϕ * ∂ y * 2 + a 0 3 L 2   u * v * ∂ 2 ϕ * ∂ x * ∂ y * = 0

a 0 e   L são constantes, então, já que a 0 3 L aparece em todas as parcelas da equação, podemos cancelar

∂ 2 ϕ * ∂ t * 2 + ∂ ∂ t * u * 2 + v * 2 +   u * 2 - a * 2 ∂ 2 ϕ * ∂ x * 2 + v * 2 - a * 2 ∂ 2 ϕ * ∂ y * 2 + 2   u * v * ∂ 2 ϕ * ∂ x * ∂ y * = 0

Ufa! Adimensionalizamos a equação. E não apareceu nenhum número adimensional conhecido. Missão cumprida. :D

Resposta

∂ 2 ϕ * ∂ t * 2 + ∂ ∂ t * u * 2 + v * 2 +   u * 2 - a * 2 ∂ 2 ϕ * ∂ x * 2 + v * 2 - a * 2 ∂ 2 ϕ * ∂ y * 2 + 2   u * v * ∂ 2 ϕ * ∂ x * ∂ y * = 0

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