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Exercícios Resolvidos de Forma de Lagrange

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Exercício 512346789

Enunciado

Dada f x = ( x + 1 ) s e n ( 2 x + 3 ) . Pede-se:

a) Aproximar por um polinômio de Lagrange do 2º grau no intervalo [0,1];

b) Determinar o valor aproximado da raiz desta função no intervalo dado;

Passo 1

Fala galera, a primeira coisa a se fazer quando pedem pra gente o polinômio interpolador de lagrange é tabelar a função.

Nesse caso a questão diz que o intervalo [a,b] é nesse problema [0,1] e o polinômio é de 2º grau. Entãoooo, para termos um polinômio de segundo grau precisamos de 3 pontos tabelados né?

k = 3   pontos

n = k - 1 = 2 intervalos

Agora que a gente já sabe o número de pontos, bora calcular o passo h da tabela. A fórmula é: h = b - a n = 1 - 0 2 = 0.5

Isso quer dizer que os valores de x na nossa tabela crescem de 0.5 em 0.5. Ela é assim então:

Agora basta substituir os valores de x em f x = ( x + 1 ) s e n ( 2 x + 3 )

f 0 = 0 + 1 * s e n 2 * 0 + 3 = 0.1411

f 0.5 = 0.5 + 1 * s e n 2 * 0.5 + 3 = - 1.135

f 1 = 1 + 1 * s e n 2 * 1 + 3 = - 1.917

Prontinho, tá tabelado agora!!

Passo 2

Agora é a hora de aplicar a fórmula do polinômio de lagrange!!

P 2 x = f ( x 0 ) L 0 + f ( x 1 ) L 1 + f ( x 2 ) L 2

A gente pode tirar f ( x 0 ) ,     f ( x 1 ) ,     f ( x 2 ) diretinho da segunda linha da tabela. Agora bora montar os L s

L 0 = x - x 1 * ( x - x 2 ) x 0 - x 1 * ( x 0 - x 2 ) =   x - 0.5 * ( x - 1 ) 0 - 0.5 * ( 0 - 1 )

L 0 = 2 x 2 - 3 x + 1

L 1 = x - x 0 * ( x - x 2 ) x 1 - x 0 * ( x 1 - x 2 ) =   x - 0 * ( x - 1 ) 0.5 - 0 * ( 0.5 - 1 )

L 1 = - 4 x 2 + 4 x

L 2 = x - x 0 * ( x - x 1 ) x 2 - x 0 * ( x 2 - x 1 ) =   x - 0 * ( x - 0.5 ) 1 - 0 * ( 1 - 0.5 )

L 2 = 2 x 2 - x  

Passo 3

Botando tudo junto na fórmula do polinômio...

P 2 x = f ( x 0 ) L 0 + f ( x 1 ) L 1 + f ( x 2 ) L 2

P 2 x = 0.1411 * 2 x 2 - 3 x + 1 - 1.135 * - 4 x 2 + 4 x - 1.917 * 2 x 2 - x

Simplificando ficamos com...

P 2 x = 0.9882 x 2 - 3.0463 x + 0.1411

Show demais tá aí o polinômio de 2º grau que o professor pediu pra gente.

DICA: Mas como eu confiro se tá certinho meu polinômio?

Pega um valor de x da tabela e substituí no polinômio, se chega bem pertinho do valor da f ( x ) seu polinômio ta show de bolinhas!!

Passo 4

Bom agora ele quer saber a raíz né? Aí você deve estar pensando que esse polinômio é de 2º grau, então têm 2 raízes. É isso que o inimigo tinhoso quer que você pense!!

Se a gente olhar direitinho a tabela que a gente montou lá no passo 1, a f ( x ) só muda de sinal uma vez entre 0 e 0.5. Isso é sinal que tem uma raíz aí nesse intervalo!!

Com o polinômio que a gente criou só vale pro intervalo da tabela que é [0,1], então só podemos calcular qualquer raíz dentro do intervalo [0,1].

Então é só achar as raízes e descartar aquela que ta fora do intervalo [0,1]

0.9882 x 2 - 3.0463 x + 0.1411 = 0  

Δ = b 2 - 4 a c = - 3.0463 2 - 4 * 0.9882 * ( 0.1411 )

Δ = 8.7222

x = - b ± Δ 2 * a

x 1,2 = 3.0463 ± 8.7222 2 * 0.9882

x 1 = 3.0356 (FORA DO INTERVALO [0,1])

x 2 = 0.047 (Olha nossa raíz aííí)

Resposta

P 2 x = 0.9882 x 2 - 3.0463 x + 0.1411

x = 0.047

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