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Exercícios Resolvidos de Forma de Lagrange

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Exercício 412356789

Enunciado

Um projétil é lançado a uma altura de 2 m do solo e sobe até 10 m de altitude, após 5 segundos. Depois de mais 3 segundos o projétil se encontra a 6 m do solo. Determinar quanto tempo levará para o projétil chegar ao chão, a partir do lançamento. Aplicar o polinômio de Lagrange.

Passo 1

Creeeedo maior cara de problema de física, saí fora!! Bom mas vamo lá. Nessa historinha que ele contou ele já deu a tabela que relaciona as alturas e o tempo pra gente né? Vamo ver aqui:

“é lançado a uma altura de 2 m do solo”

t = 0  

  y = 2

“sobe até 10 m de altitude, após 5 segundos”

t = 5  

  y = 10

“Depois de mais 3 segundos o projétil se encontra a 6 m do solo”

t = 5 + 3 = 8  

  y = 6

Então...

Passo 2

Agora é a hora de aplicar a fórmula do polinômio de lagrange!!

Como temos k = 3   pontos na tabela a ordem do polinômio será

n = k - 1 = 2

Então:

P 2 t = f ( t 0 ) L 0 + f ( t 1 ) L 1 + f ( t 2 ) L 2

A gente pode tirar f ( t 0 ) ,     f ( t 1 ) ,     f ( t 2 ) diretinho da segunda linha da tabela. Agora bora montar os L s

L 0 = t - t 1 * ( t - t 2 ) t 0 - t 1 * ( t 0 - t 2 ) =   t - 5 * ( t - 8 ) 0 - 5 * ( 0 - 8 )

L 0 = 0.025 t 2 - 0.325 t + 1

L 1 = t - t 0 * ( t - t 2 ) t 1 - t 0 * ( t 1 - t 2 ) =   t - 0 * ( t - 8 ) 5 - 0 * ( 5 - 8 )

L 1 = - 0.06667 t 2 + 0.5333 t

L 2 = t - t 0 * ( t - t 1 ) t 2 - t 0 * ( t 2 - t 1 ) =   t - 0 * ( t - 5 ) 8 - 0 * ( 8 - 5 )

L 2 = 0.0417 t 2 - 0.2083 t  

Passo 3

Botando tudo junto na fórmula do polinômio...

P 2 t = f ( t 0 ) L 0 + f ( t 1 ) L 1 + f ( t 2 ) L 2

P 2 t = 2 * 0.025 t 2 - 0.325 t + 1 + 10 * - 0.0667 t 2 + 0.5333 t + …

… + 6 * 0.0417 t 2 - 0.2083 t    

Simplificando ficamos com...

P 2 t = - 0.3668 t 2 + 3.433 t + 2

Show demais tá aí o polinômio de 2º grau.

Mas agora precisamos achar em quanto tempo o projétil chega ao chão.

Passo 4

Pra achar esse tempo, basta igualar o polinômio à zero.

P 2 t = - 0.3668 t 2 + 3.433 t + 2

Δ = b 2 - 4 a c = 3.433 2 - 4 * - 0.3668 * ( 2 )

Δ = 14.72

x = - b ± Δ 2 * a

x 1,2 = - 3.433 t ± 14.72 2 * ( - 0.3668 )

x 1 = - 0.5502   (Nada a ver esse tempo negativo)

x 2 = 9.91 (Olha nossa resposta aí)

Resposta

t = 9.91     s

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