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Exercícios Resolvidos de Forma de Lagrange

Ver Teoria
Exercício 213456789

Enunciado

Sabendo-se que f 0.81 = 16.94410 , f 0.83 = 17.56492 , f 0.86 = 18.50515 e f 0.87 = 18.82091 , calcule um valor aproximado de f 0.84 , usando polinômio interpolador de Lagrange de grau n ≤ 1,2

Passo 1

Grau 1:

Para encontrar o polinômio de Lagrange de grau 1 vamos usar os pontos:

x 0 = 0.83

x 1 = 0.86

Temos então que:

p 1 x = y 0 L 0 + y 1 L 1 ,

onde:

y 0 = f 0.83 = 17.56492

y 1 = f 0.86 = 18.50515

L 0 = x - x 1 x 0 - x 1 = 0.86 - x 0.03 = 86 - 100 x 3

L 1 = x - x 0 x 1 - x 0 = x - 0.83 0.03 = 100 x - 83 3

Logo,

p 1 x = 31.341 x - 8.44811

Substituindo 0.84 no polinômio:

p 1 0.84 = 17.8783

Passo 2

Grau 2:

Para encontrar o polinômio de Lagrange de grau 2 vamos usar os pontos:

x 0 = 0.81

x 1 = 0.83

x 2 = 0.86

Temos então que:

p 2 x = y 0 L 0 + y 1 L 1 + y 2 L 2 ,

onde:

y 0 = f x 0 = 16.94410

y 1 = f x 1 = 17.56492

y 2 = f x 2 = 18.50515

L 0 = x - x 1 x - x 2 x 0 - x 1 x 0 - x 2 = x - 0.83 x - 0.86 0.81 - 0.83 0.81 - 0.86 = 1000 x 2 - 1690 x + 713.8

L 1 = x - x 0 x - x 2 x 1 - x 0 x 1 - x 2 = x - 0.81 x - 0.86 0.83 - 0.81 0.83 - 0.86 = - 1666.66 667 x 2 + 2783.3 333 3 x - 1161

L 2 = x - x 0 x - x 1 x 2 - x 0 x 2 - x 1 = x - 0.81 x - 0.83 0.86 - 0.81 0.86 - 0.83 = 666.6 66 67 x 2 - 1093.3 333 3 x + 448.2

Logo,

p 2 x = 6 x 2 + 21.20 1 x - 4.16531

Substituindo 0.84 no polinômio:

p 2 0.84 = 17.8771

Passo 3

Grau 3:

Para encontrar o polinômio de Lagrange de grau 3 vamos usar os pontos:

x 0 = 0.81

x 1 = 0.83

x 2 = 0.86

x 3 = 0.87

Temos então que:

p 3 x = y 0 L 0 + y 1 L 1 + y 2 L 2 + y 3 L 3 ,

onde:

y 0 = f x 0 = 16.94410

y 1 = f x 1 = 17.56492

y 2 = f x 2 = 18.50515

y 3 = f x 3 = 18.82091

L 0 = x - x 1 x - x 2 x - x 3 x 0 - x 1 x 0 - x 2 x 0 - x 3 = x - 0.83 x - 0.86 x - 0.87 0.81 - 0.83 0.81 - 0.86 ( 0.81 - 0.87 ) = - x 3 + 2.56 x 2 - 2.1841 x + 0.6210 06 0.00006

L 1 = x - x 0 x - x 2 x - x 3 x 1 - x 0 x 1 - x 2 x 1 - x 3 = x - 0.81 x - 0.86 x - 0.87 0.83 - 0.81 0.83 - 0.86 0.83 - 0.87 = x 3 - 2.54 x 2 + 2.1495 x - 0.60604 2 0.000024

L 2 = x - x 0 x - x 1 x - x 3 x 2 - x 0 x 2 - x 1 x 2 - x 3 = x - 0.81 x - 0.83 x - 0.87 0.86 - 0.81 0.86 - 0.83 0.86 - 0.87 = - x 3 + 2.51 x 2 - 2.0991 x + 0.5849 01 0.000015

L 3 = x - x 0 x - x 1 x - x 2 x 3 - x 0 x 3 - x 1 x 3 - x 2 = x - 0.81 x - 0.83 x - 0.8 6 0.8 7 - 0.81 0.8 7 - 0.83 0.8 7 - 0.8 6 = x 3 - 2.5 x 2 + 2.0827 x - 0.5781 78 0.000024

Logo,

p 3 x = - 2.08333 x 3 + 11.2083 x 2 + 16.862 x - 2.96077

Substituindo 0.84 no polinômio:

p 3 0.84 = 17 . 8771

Resposta

p 1 0.84 = 17.8783

p 2 0.84 = 17.8771

p 3 0.84 = 17 . 8771

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