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Exercícios Resolvidos de Forma de Lagrange

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Exercício 312456789

Enunciado

Para as funções f x abaixo, sejam x 0 = 1 , x 1 = 1.25 e x 2 = 1.6 . Encontre funções de interpolação de grau 1 e 2 para aproximar f 1.4 e encontre o erro absoluto.

a f x = sin ⁡ π x

b f x = x - 1 3

c f x = log 10 ⁡ 3 x - 1

d f x = e 2 x - x

Passo 1

a Para encontrar o polinômio de Lagrange de grau 1 vamos usar os pontos:

x 0 = 1.25

x 1 = 1.6

pois estão mais próximos de 1.4 . Temos então que:

p 1 x = y 0 L 0 + y 1 L 1 ,

onde:

y 0 = sin ⁡ 1.25 π = - 0.70711

y 1 = sin ⁡ 1.6 π = - 0.95106

L 0 = x - x 1 x 0 - x 1 = 1.6 - x 0.35

L 1 = x - x 0 x 1 - x 0 = x - 1.25 0.35

Logo,

p 1 x = 0.16414 - 0.697 x

Substituindo 1.4 no polinômio:

p 1 1.4 = - 0.81166

O valor real da função nesse ponto é:

f 1.4 = sin ⁡ 1.4 π = - 0.95106

E o erro absoluto vale:

E A = p 1 1.4 - f 1.4 = 0.1394

Passo 2

Para encontrar o polinômio de Lagrange de grau 2 vamos usar os pontos:

x 0 = 1

x 1 = 1.25

x 2 = 1.6

Temos então que:

p 2 x = y 0 L 0 + y 1 L 1 + y 2 L 2 ,

onde:

y 0 = sin ⁡ π = 0

y 1 = sin ⁡ 1.25 π = - 0.70711

y 2 = sin ⁡ 1.6 π = - 0.95106

Repare que como o y 0 foi zerado não precisamos nos preocupar em calcular L 0 !

L 1 = x - x 0 x - x 2 x 1 - x 0 x 1 - x 2 = x - 1 x - 1.6 1.25 - 1 1.25 - 1.6 = - 11.4286 x 2 + 29.7143 x - 18.2857

L 2 = x - x 0 x - x 1 x 2 - x 0 x 2 - x 1 = x - 1 x - 1.25 1.6 - 1 1.6 - 1.25 = 4.7619 x 2 - 10.7143 x + 5.95238

Logo,

p 2 x = 3.55242 x 2 - 10.8213 x + 7.26893

Substituindo 1.4 no polinômio:

p 2 1.4 = - 0.91819

O valor real da função nesse ponto é:

f 1.4 = sin ⁡ 1.4 π = - 0.95106

E o erro absoluto vale:

E A = p 2 1.4 - f 1.4 = 0.03287

Passo 3

b Para encontrar o polinômio de Lagrange de grau 1 vamos usar os pontos:

x 0 = 1.25

x 1 = 1.6

pois estão mais próximos de 1.4 . Temos então que:

p 1 x = y 0 L 0 + y 1 L 1 ,

onde:

y 0 = 1.25 - 1 3 = 0.62996

y 1 = 1.6 - 1 3 = 0.84343

L 0 = x - x 1 x 0 - x 1 = 1.6 - x 0.35

L 1 = x - x 0 x 1 - x 0 = x - 1.25 0.35

Logo,

p 1 x = 0.60991 x - 0.13243

Substituindo 1.4 no polinômio:

p 1 1.4 = 0.72145

O valor real da função nesse ponto é:

f 1.4 = 1.4 - 1 3 = 0.73681

E o erro absoluto vale:

E A = p 1 1.4 - f 1.4 = 0.01536

Passo 4

Para encontrar o polinômio de Lagrange de grau 2 vamos usar os pontos:

x 0 = 1

x 1 = 1.25

x 2 = 1.6

Temos então que:

p 2 x = y 0 L 0 + y 1 L 1 + y 2 L 2 ,

onde:

y 0 = 1 - 1 3 = 0

y 1 = 1.25 - 1 3 = 0.62996

y 2 = 1.6 - 1 3 = 0.84343

Repare que como o y 0 foi zerado não precisamos nos preocupar em calcular L 0 !

L 1 = x - x 0 x - x 2 x 1 - x 0 x 1 - x 2 = x - 1 x - 1.6 1.25 - 1 1.25 - 1.6 = - 11.4286 x 2 + 29.7143 x - 18.2857

L 2 = x - x 0 x - x 1 x 2 - x 0 x 2 - x 1 = x - 1 x - 1.25 1.6 - 1 1.6 - 1.25 = 4.7619 x 2 - 10.7143 x + 5.95238

Logo,

p 2 x = - 3.18323 x 2 + 9.68206 x - 6.49884

Substituindo 1.4 no polinômio:

p 2 1.4 = 0.8169

O valor real da função nesse ponto é:

f 1.4 = 1.4 - 1 3 = 0.73681

E o erro absoluto vale:

E A = p 2 1.4 - f 1.4 = 0.08009

Passo 5

c Para encontrar o polinômio de Lagrange de grau 1 vamos usar os pontos:

x 0 = 1.25

x 1 = 1.6

pois estão mais próximos de 1.4 . Temos então que:

p 1 x = y 0 L 0 + y 1 L 1 ,

onde:

y 0 = log 10 ⁡ 3.75 - 1 = 0.43933

y 1 = log 10 ⁡ 4.8 - 1 = 0.57978

L 0 = x - x 1 x 0 - x 1 = 1.6 - x 0.35

L 1 = x - x 0 x 1 - x 0 = x - 1.25 0.35

Logo,

p 1 x = 0.40129 x - 0.06228

Substituindo 1.4 no polinômio:

p 1 1.4 = 0.49952

O valor real da função nesse ponto é:

f 1.4 = log 10 ⁡ 4.2 - 1 = 0.50515

E o erro absoluto vale:

E A = p 1 1.4 - f 1.4 = 0.00563

Passo 6

Para encontrar o polinômio de Lagrange de grau 2 vamos usar os pontos:

x 0 = 1

x 1 = 1.25

x 2 = 1.6

Temos então que:

p 2 x = y 0 L 0 + y 1 L 1 + y 2 L 2 ,

onde:

y 0 = log 10 ⁡ 3 - 1 = 0.30103

y 1 = log 10 ⁡ 3.75 - 1 = 0.43933

y 2 = log 10 ⁡ 4.8 - 1 = 0.57978

L 0 = x - x 1 x - x 2 x 0 - x 1 x 0 - x 2 = x - 1.25 x - 1.6 1 - 1.25 1 - 1.6 = 6.66667 x 2 - 19 x + 13.33333

L 1 = x - x 0 x - x 2 x 1 - x 0 x 1 - x 2 = x - 1 x - 1.6 1.25 - 1 1.25 - 1.6 = - 11.4286 x 2 + 29.7143 x - 18.2857

L 2 = x - x 0 x - x 1 x 2 - x 0 x 2 - x 1 = x - 1 x - 1.25 1.6 - 1 1.6 - 1.25 = 4.7619 x 2 - 10.7143 x + 5.95238

Logo,

p 2 x = - 0.25321 x 2 + 1.12288 x - 0.56865

Substituindo 1.4 no polinômio:

p 2 1.4 = 0.50709

O valor real da função nesse ponto é:

f 1.4 = log 10 ⁡ 4.2 - 1 = 0.50515

E o erro absoluto vale:

E A = p 2 1.4 - f 1.4 = 0.00194

Passo 7

d Para encontrar o polinômio de Lagrange de grau 1 vamos usar os pontos:

x 0 = 1.25

x 1 = 1.6

pois estão mais próximos de 1.4 . Temos então que:

p 1 x = y 0 L 0 + y 1 L 1 ,

onde:

y 0 = e 2.5 - 1.25 = 10.93249

y 1 = e 3.2 - 1.6 = 22.93253

L 0 = x - x 1 x 0 - x 1 = 1.6 - x 0.35

L 1 = x - x 0 x 1 - x 0 = x - 1.25 0.35

Logo,

p 1 x = 34.2858 x - 31.9248

Substituindo 1.4 no polinômio:

p 1 1.4 = 16.0753

O valor real da função nesse ponto é:

f 1.4 = e 2.8 - 1.4 = 15.04465

E o erro absoluto vale:

E A = p 1 1.4 - f 1.4 = 1.03065

Passo 8

Para encontrar o polinômio de Lagrange de grau 2 vamos usar os pontos:

x 0 = 1

x 1 = 1.25

x 2 = 1.6

Temos então que:

p 2 x = y 0 L 0 + y 1 L 1 + y 2 L 2 ,

onde:

y 0 = e 2 - 1 = 6.38906

y 1 = e 2.5 - 1.25 = 10.93249

y 2 = e 3.2 - 1.6 = 22.93253

L 0 = x - x 1 x - x 2 x 0 - x 1 x 0 - x 2 = x - 1.25 x - 1.6 1 - 1.25 1 - 1.6 = 6.66667 x 2 - 19 x + 13.33333

L 1 = x - x 0 x - x 2 x 1 - x 0 x 1 - x 2 = x - 1 x - 1.6 1.25 - 1 1.25 - 1.6 = - 11.4286 x 2 + 29.7143 x - 18.2857

L 2 = x - x 0 x - x 1 x 2 - x 0 x 2 - x 1 = x - 1 x - 1.25 1.6 - 1 1.6 - 1.25 = 4.7619 x 2 - 10.7143 x + 5.95238

Logo,

p 2 x = 26.8531 x 2 - 42.2469 x + 21.7823

Substituindo 1.4 no polinômio:

p 2 1.4 = 15.2688

O valor real da função nesse ponto é:

f 1.4 = e 2.8 - 1.4 = 15.04465

E o erro absoluto vale:

E A = p 2 1.4 - f 1.4 = 0.22415

Resposta

a p 1 x = 0.16414 - 0.697 x ; p 1 1.4 = - 0.81166 ; E A = 0.1394

p 2 x = 3.55242 x 2 - 10.8213 x + 7.26893 ; p 2 1.4 = - 0.91819 ; E A = 0.03287

b p 1 x = 0.60991 x - 0.13243 ; p 1 1.4 = 0.72145 ; E A = 0.01536

p 2 x = 1 + 0.48344 x - 0.06987 x 2 ; p 2 1.4 = 0.8169 ; E A = 0.08009

c p 1 x = 0.40129 x - 0.06228 ; p 1 1.4 = 0.49952 ; E A = 0.00563

p 2 x = - 0.25321 x 2 + 1.12288 x - 0.56865 ; p 2 1.4 = 0.50709 ; E A = 0.00194

d p 1 x = 34.2858 x - 31.9248 ; p 1 1.4 = 16.0753 ; E A = 1.03065

p 2 x = 26.8531 x 2 - 42.2469 x + 21.7823 ; p 2 1.4 = 15.2688 ; E A = 0.22415

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13. Sendo p n x = ∑ k = 0 n L k x f ( x k ) o polinômio que interpola f ( x ) em x 0 , x 1 , … . , x n na forma de Lagrange mostre que... ∑ k = 0 n L k ( x ) = 1 ,∀ x (Sugestão: Interpole a função f x
A integral elíptica completa é definida por: K k = ∫ 0 π 2 d x 1 - k 2 sin 2 ⁡ x 1 2 Por uma tabela de valores dessa integral encontramos:K 1 =1.5708 ;K 2 = 1.5719 ;K 3 = 1.5739 Determinar K ( 2.5 ) ,
Construir os polinômios de interpolação, na forma de Lagrange, para a função y = sin ⁡ π x , escolhendo os pontos: x 0 = 0;x 1 = 1 6;x 2 = 1 2.
Dar uma outra prova de unicidade do polinômio de interpolação P n ( f ; x ) de uma função y= f ( x ) sobre o conjunto de pontos x 0 , x 1 , .. ., x n . D n ( x ) = P n ( f ; x ) - Q n ( f ; x ) .
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