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Exercícios Resolvidos de Forma de Lagrange

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Exercício 612345789

Enunciado

Sabe-se que a equação 𝑥²−𝑙𝑛(𝑥)−2=0, admite uma raiz no intervalo [1,2], determine o valor desta raiz utilizando um polinômio interpolador de Lagrange sobre três pontos

Passo 1

Fala galera, a primeira coisa a se fazer quando pedem pra gente o polinômio interpolador de lagrange é tabelar a função.

Nesse caso a questão diz que o intervalo [a,b] é nesse problema [1,2]. E o professor fala de 3 pontos então...

k = 3   pontos

n = k - 1 = 2 intervalos

Logo teremos um polinômio de 2º grau

Agora que a gente já sabe o número de pontos, bora calcular o passo h da tabela. A fórmula é: h = b - a n = 2 - 1 2 = 0.5

Isso quer dizer que os valores de x na nossa tabela crescem de 0.5 em 0.5. Ela é assim então:

Agora basta substituir os valores de x em f x = x 2 - ln ⁡ x - 2

f 1 = 1 2 - ln ⁡ 1 - 2 =   - 1

f 1.5 = 1.5 2 - ln ⁡ 1.5 - 2 = - 0.155

f 2 = 2 2 - ln ⁡ 2 - 2 = 1.307

Prontinho, tá tabelado agora!!

Passo 2

Agora é a hora de aplicar a fórmula do polinômio de lagrange!!

P 2 x = f ( x 0 ) L 0 + f ( x 1 ) L 1 + f ( x 2 ) L 2

A gente pode tirar f ( x 0 ) ,     f ( x 1 ) ,     f ( x 2 ) diretinho da segunda linha da tabela. Agora bora montar os L s

L 0 = x - x 1 * ( x - x 2 ) x 0 - x 1 * ( x 0 - x 2 ) =   x - 1.5 * ( x - 2 ) 1 - 1.5 * ( 1 - 2 )

L 0 = 2 x 2 - 7 x + 6

L 1 = x - x 0 * ( x - x 2 ) x 1 - x 0 * ( x 1 - x 2 ) =   x - 1 * ( x - 2 ) 1.5 - 1 * ( 1.5 - 2 )

L 1 = - 4 x 2 + 12 x - 8

L 2 = x - x 0 * ( x - x 1 ) x 2 - x 0 * ( x 2 - x 1 ) =   x - 1 * ( x - 1.5 ) 2 - 1 * ( 2 - 1.5 )

L 2 = 2 x 2 - 5 x + 3  

Passo 3

Botando tudo junto na fórmula do polinômio...

P 2 x = f ( x 0 ) L 0 + f ( x 1 ) L 1 + f ( x 2 ) L 2

P 2 x = - 1 * 2 x 2 - 7 x + 6 - 0.155 * - 4 x 2 + 12 x - 8 + 1.307 * 2 x 2 - 5 x + 3  

Simplificando ficamos com...

P 2 x = 1.234 x 2 - 1.395 x - 0.839

Show demais tá aí o polinômio de 2º grau que o professor pediu pra gente.

DICA: Mas como eu confiro se tá certinho meu polinômio?

Pega um valor de x da tabela e substituí no polinômio, se chega bem pertinho do valor da f ( x ) seu polinômio ta show de bolinhas!!

Passo 4

Bom agora ele quer saber a raíz né? Aí você deve estar pensando que esse polinômio é de 2º grau, então têm 2 raízes. É aí que tá aquela pegadinha

Se a gente olhar direitinho a tabela que a gente montou lá no passo 1, a f ( x ) só muda de sinal uma vez entre 1.5 e 2. Isso é sinal que tem uma raíz aí nesse intervalo!!

Com o polinômio que a gente criou só vale pro intervalo da tabela que é [1,2], então só podemos calcular qualquer raíz dentro do intervalo [1,2].

Então é só achar as raízes e descartar aquela que ta fora do intervalo [1,2]

1.234 x 2 - 1.395 x - 0.839 = 0  

Δ = b 2 - 4 a c = - 1.395 2 - 4 * 1.234 * ( - 0.839 )

Δ = 6.087

x = - b ± Δ 2 * a

x 1,2 = 1.395 ± 6.087 2 * 1.234

x 1 = 1.565 (Nossa Raíz)

x 2 = - 0.434 (FORA DO INTERVALO)

Resposta

x = 1.565

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