Identifique que a Quádrica na forma quadrática abaixo
Passo 1
Primeiramente, observamos que essa não é uma quádrica do jeito que estamos acostumados. Os termos de potência 1 e os produtos mistos nos levam a pensar que ela está com o centro deslocado e rotacionada.
Vamos escrever a sua equação na forma matricial:
Passo 2
A partir da matriz , encontramos seus autovalores.
Para calcular os autovalores de uma matriz 3x3:
Devemos fazer:
Isso implica:
No nosso caso:
Então temos:
Calculando:
Ajeitando:
Colocando em evidência:
Logo, os autovalores são:
Passo 3
Precisamos encontrar os autovetores unitários.
Vamos calcular o autovetor referente a .Para isso faremos:
Temos:
Então:
Multiplicando a primeira linha por 2 e somando com a terceira:
Temos:
Da primeira linha temos que:
E ? Não temos restrição nenhuma... Pode ser qualquer constantes.
Fica:
Arbitrando valores para temos:
Achando o autovetor unitário temos:
Passo 4
Calculando agora o autovetor referente a faremos:
Temos:
Então:
Da primeira equação:
Da segunda equação temos:
Fica:
Arbitrando valores para temos:
Achando o autovetor unitário temos:
Passo 5
Calculando agora o autovetor referente a faremos:
Temos:
Então:
Da primeira equação:
Da segunda:
Fica:
Arbitrando valores para temos:
Achando o autovetor unitário temos:
Passo 6
Agora que calculamos os autovalores e autovetores, podemos jogar os valores encontrados na equação matricial:
Fica:
Fazendo essa multiplicação matricial chegamos em:
Passo 7
Agora é só completar quadrados:
Substituindo na equação temos:
Ajeitando:
Que é a equação do hiperboloide de uma folha.
Resposta
Hiperboloide de uma folha.