PUC-RIO, Cálculo II, G4 VE1 2015.1, questão 1a
Seja
a) Classifique a quádrica , como elipsóide, hiperboloide de uma folha ou hiperboloide de duas folhas, justificando sua resposta.
Passo 1
a) Primeiramente, observamos que essa não é uma quádrica do jeito que estamos acostumados, devido ao termo . Isso nos leva a pensar que ela está rotacionada.
Vamos escrever a sua equação na forma matricial:
Passo 2
A partir da matriz , encontramos seus autovalores.
Para calcular os autovalores de uma matriz 3x3:
Devemos fazer:
Isso implica:
No nosso caso:
Então temos:
Calculando:
Temos então:
As raízes são
Passo 3
Beleza? Agora repare que ele não pede a equação da quádrica em relação aos eixos rotacionados . Pelo contrário, ele pede só pra classificar, e ainda dá três alternativas:
elipsóide, hiperboloide de uma folha ou hiperboloide de duas folhas.
A equação da quádrica em relação aos eixos rotacionados é:
Repare que o sinal dos termos que vão aparecer ao quadrado é dado por . Vai ficar:
Passo 4
Então, vamos lembrar o que difere um elipsoide dos hiperboloides? Isso mesmo, o sinal dos termos ao quadrado. No elipsoide, eles são todos iguais. Como , a quádrica só pode ser um elipsoide.
Resposta
- A quádrica é um elipsoide.