Identifique que a Quádrica na forma quadrática abaixo
Passo 1
Primeiramente, observamos que essa não é uma quádrica do jeito que estamos acostumados. Os termos elevados a potência 1 e os termos mistos nos levam a pensar que ela está com o centro deslocado e rotacionada.
Vamos escrever a sua equação na forma matricial:
Passo 2
A partir da matriz , encontramos seus autovalores.
Para calcular os autovalores de uma matriz 3x3:
Devemos fazer:
Isso implica:
No nosso caso:
Então temos:
Calculando:
Temos então:
Vamos procurar raízes através dos divisores tanto positivos quanto negativos do coeficiente do termo de menor grau dividido pelo coeficiente do termo de maior grau. Isso é:
Divisores de
São eles:
Vai dar trabalho, mas ao testar esses valores verificamos que as raízes são:
Passo 3
Precisamos encontrar os autovetores unitários.
Vamos calcular o autovetor referente a .Para isso faremos:
Temos:
Então:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda:
Fica:
Arbitrando valores para temos:
Achando o autovetor unitário temos:
Passo 4
Calculando agora o autovetor referente a faremos:
Temos:
Então:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda:
Fica:
Arbitrando valores para temos:
Achando o autovetor unitário temos:
Passo 5
Calculando agora o autovetor referente a faremos:
Temos:
Então:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda:
Fica:
Arbitrando valores para temos:
Achando o autovetor unitário temos:
Passo 6
Agora que calculamos os autovalores e autovetores, podemos jogar os valores encontrados na equação matricial:
Fica:
Fazendo essa multiplicação matricial chegamos em:
Passo 7
Agora é só completar quadrados:
Substituindo na equação temos:
Ajeitando:
Que é a equação do elipsoide.
Resposta
A quádrica é um elipsoide.