Considere o potencial de velocidade incompressível bidimensional . É verdade que , e, em caso afirmativo, o que isso significa? Se ela existe, encontre a função corrente desse escoamento. Encontre a equação da linha de corrente que passa por .
Passo 1
a) O Laplaciano, , é definido da seguinte forma
Então, devemos calcular essas derivadas e ver se isso dá zero.
Passo 2
Calculando, temos
Assim o Laplaciano é
Passo 3
A equação da continuidade incompressível, escrita numa notação vetorial, é dada por
A definição do potencial de velocidade é
Colocando uma equação dentro da outra e lembrando que , temos
Ou seja, sempre que o Laplaciano é zero a equação da continuidade incompressível é satisfeita.
Passo 4
b) Para determinar a função corrente, devemos descobrir as componentes do vetor velocidade. Para isso usamos a definição de potencial de velocidade, ou seja
Depois, aplicamos o passo a passo que vimos nos outros exercícios.
Passo 5
Derivando a expressão de , temos que
Agora vamos integrar a seguinte equação
Passo 6
Derivando a expressão do passo anterior com relação a , temos
Pela definição da função corrente, temos
Passo 7
Juntando tudo, temos que
Passo 8
c)Substituindo o ponto na função obtida acima, temos que
Assim, a curva que passa pelo ponto é