PUCRIO, Álgebra Linear I, G2-2017.2, Questão 2abcd
Seja a transformação linear que é a reflexão com relação ao plano de equação
a)Mostre que a transformação é definida pela matriz
b)Determine a reflexão de com relação ao plano
c)Determine o posto e a nulidade de do item(a).
d)A matriz do item (a) é invertível? Se sua resposta foi afirmativa, determine Se sua resposta foi negativa, justifique.
Passo 1
a)
Queremos conferir que a matriz da transformação é .
A transformação é uma reflexão, então, podemos deduzir a imagem de alguns vetores: aqueles pertencentes ao plano vão ser eles mesmos e o normal vai ser simplesmente invertido.
Como esses vetores formam uma base do domínio, podemos verificar que essa matriz é a matriz da tranformação comparando os resultados:
Vamos achar, então, esses vetores!
Sendo o vetor normal a ele vai ser aquele cujas coordenadas são os coeficientes das variáveis, . Já a base desse plano pode ser:
A transformação desses vetores é:
Vamos aplicá-los na matriz e conferir isso aí:
Deu exatamente o que queríamos!
Passo 2
b)
É só aplicar na matriz:
Passo 3
c)
Agora vamos achar a dimensão do núcleo e da imagem da matriz
Primeiro a da imagem! A dimensão da imagem é o número de colunas , como o número de colunas é igual ao número de linhas e sendo essa nossa matriz:
Vemos que temos 3 linhas/colunas ! O que faz termos ser igual a 3.
Gente, temos a dimensão da imagem e queremos a dimensão do núcleo, o que isso nos lembra?
Teorema Núcleo Imagem!!!
Podemos pensar também que nenhum vetor não nulo refletido por um plano vai gerar o vetor nulo, o que faz o núcleo ter dimensão zero.
Passo 4
d)
Como o núcleo é zero, a matriz é invertível!
Vamos invertê-la:
Opa, a matriz inversa é a próprio matriz
Passo 5
Resposta
b)
c)
d) É invertível,