PUCRIO, Álgebra Linear I, G2-2017.2, Questão 1
Sejam vetores em
a)Seja a matriz cujas linhas são os vetorese , ou seja,
Encontre a matriz escalonada reduzida de
b)Considere
(b.1) Mostre que é um subespaço vetorial de
(b.2) Determine uma base para
c)Seja a transformação linear (ou matricial) dada por
(c.1) Determine a que representa a transformação
(c.2) Determine o posto e a nulidade de
(c.3) Determine uma base do espaço coluna de
Passo 1
a)
Beleza é só escalonar totalmente essa matriz:
Pronto, está na forma escalonada, mas vamos continuar:
Multiplicando a segunda linha por conseguimos tranformar todos os pivôs em 1 e então temos a matriz na forma reduzida:
Passo 2
b.1)
Queremos mostrar que é um subespaço vetorial do .
Um subespaço do vai ser um conjunto não vazio, fechado para a soma e multiplicação por escalar e que contém o vetor nulo, vamos testar isso aí:
Bom, primeiramente, , já que o produto interno dele com qualquer vetor vai ser igual a 0. Com isso, já confirmamos o fato de que é de fato um conjunto não vazio.
Vamos testar agora, se esse conjunto é fechado para a soma, usando e pertencentes a De acordo com a expressão dos vetores de temos que o produto interno deles com e vai ser igual a zero:
Queremos saber se , se isso for verdade, , logo, é fechado para a soma:
É fechado para a soma!
Agora, vamos testar a multiplicação por escalar, vamos testar se.
Confirmamos que é sim fechado para a multiplicação por escalar!
Pronto, provamos que é um subespaço vetorial de .
Passo 3
b.2)
Vamos determinar uma base para esse espaço primeiramente pegando um vetor genérico do ,
Fazendo esses produtos internos, chegamos a um sistema de equações:
Vamos passar para a forma matricial e escalonar:
Opaa, é a mesma matriz que já escalonamos na letra a)! Mesmo que tenha uma coluna a mais, por ser só formada por zeros, não vai alterar a matriz reduzida.
Assim, vamos pegar aquela reduzida matriz e voltar para as equações para achar os valores de .
Assim, tenho que , então:
Esse vetor aí gera , então, uma base desse espaço é:
Passo 4
c.1)
Queremos, agora, a matriz que representa a transformação
Vou substituir os vetores e
Pronto, reorganizei a expressão pra ficar de uma forma mais familiar pra gente!
Agora é facil passar achar a matriz que representa a equação, botando tudo que multiplica na primeira coluna, tudo que multiplica na segunda, na terceira e na quarta!
Passo 5
c.2)
Vamos achar o núcleo e a nulidade da matriz!
Mas pera, antes de fazer todo aquele monte de contas, vamos pensar numa coisinha, a matriz é igual a matriz , certo?
Agora olha o que fizemos nas letras anteriores, na letra b.2), nos calculamos que vai ser igual a que é exatamente o núcleo da matriz!
Vou simplesmente pegar o resultado que achei ali em cima:. Como só tem 1 vetor na base, a dimensão vai ser igual a 1:
Passo 6
c.3)
Por último, vamos achar uma base para o espaço coluna, ou imagem de
Podemos transpor a matriz e escalonar, mas tem um jeito mais simples de achar essa base, utilizando o teorema núcleo imagem:
Como os vetores das colunas são pertencentes ao . A imagem vai ter que ser o próprio para ter essa dimensão! Assim, podemos pegar qualquer base desse espaço (3 vetores de 3 coordenadas que formam um conjunto , como a canônica:
Resposta
a)
b.2)
c.1)
c.2)
c.3)