Considere o espaço vetorial dos polinômios com coeficientes reais e de grau até 2 e seja uma base de
- Seja Determine
- Seja tal que Determine
- Decida se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa. Se a afirmação for verdadeira, apresente uma demonstração. Se a afirmação for falsa, exiba explicitamente um contraexemplo.
Se então
Passo 1
a)
Vamos escrever o polinômio na base . Para isso, precisamos achar os coeficientes que satisfazem:
Tenho, então, que
Assim, .
Passo 2
b)
Agora vamos fazer o caminho contrário, temos os coeficiente e vamos achar o polinômio:
Passo 3
c)
Para escrever na base , fazemos:
Assim, e . Dessa forma, substituindo, achamos que:
Assim, se .
Como pediram um contraexemplo, vou pegar valores aleatórios para e e
Resposta
a)
b)
c)