P3 de Álgebra Linear I - MAT1200 da PUCRIO - 2017.2
Álgebra Linear I - MAT1200 - PUCRIO
Seja o espaço vetorial das matrizes quadradas de duas linhas e duas colunas. Para denote sua transposta, ou seja, se , então
Considere a aplicação dada por
(a) Mostre que é uma transformação linear.
Ver solução completaDecida se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa. Se a afirmação for verdadeira, apresente uma demonstração. Se a afirmação for falsa, exiba explicitamente um contraexemplo.
(b.1) Se , então
(b.2) Se uma transformação linear tal que sua matriz na base é então .
Ver solução completaDecida se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa. Se a afirmação for verdadeira, apresente uma demonstração. Se a afirmação for falsa, exiba explicitamente um contraexemplo.
(a.1) Se é uma transformação linear tal que seu polinômio característico é então é diagonalizável.
(a.2) Se uma transformação linear tal que seu polinômio característico é então .
Ver solução completaSeja o espaço vetorial das matrizes quadradas de duas linhas e duas colunas. Para denote sua transposta, ou seja, se , então
Considere a aplicação dada por
(b) Determine uma base de (núcleo de ).
(c) T é bijetora?
(d) Seja base de . Determine .
(e) Determine uma base de (imagem de ).
Ver solução completaSeja a transformação linear dada por
(a) Mostre que a matriz de na base canônica de é:
(b) Determine os autovalores de .
(Dica na conta: .)
(c) Determine os autoespaços de .
(d) é sobrejetora?
(e) Existe uma base ortonormal de feita de autovetores de ? Se sua resposta foi afirmativa, exiba uma base ortonormal de feita de autovetores de . Se sua resposta foi negativa, justifique.
(f) é ortogonalmente diagonalizável? Se sua resposta foi afirmativa, diagonalize ortogonalmente. Se sua resposta foi negativa, justifique.
(g) Use a definição de e dê uma justificativa geométrica para encontrar novamente os autoespaços de .
(h) Use a definição de e dê uma justificativa geométrica para encontrar novamente os autovalores de .
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