P3 de Álgebra Linear I - MAT1200 da PUCRIO - 2017.2

Seja o espaço vetorial das matrizes quadradas de duas linhas e duas colunas. Para denote sua transposta, ou seja, se , então

Considere a aplicação dada por

(a) Mostre que é uma transformação linear.

Decida se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa. Se a afirmação for verdadeira, apresente uma demonstração. Se a afirmação for falsa, exiba explicitamente um contraexemplo.

(b.1) Se , então

(b.2) Se uma transformação linear tal que sua matriz na base é então .

Decida se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa. Se a afirmação for verdadeira, apresente uma demonstração. Se a afirmação for falsa, exiba explicitamente um contraexemplo.

(a.1) Se é uma transformação linear tal que seu polinômio característico é então é diagonalizável.

(a.2) Se uma transformação linear tal que seu polinômio característico é então .

Seja o espaço vetorial das matrizes quadradas de duas linhas e duas colunas. Para denote sua transposta, ou seja, se , então

Considere a aplicação dada por

(b) Determine uma base de (núcleo de ).

(c) T é bijetora?

(d) Seja base de . Determine .

(e) Determine uma base de (imagem de ).

Seja a transformação linear dada por

(a) Mostre que a matriz de na base canônica de é:

(b) Determine os autovalores de .

(Dica na conta: .)

(c) Determine os autoespaços de .

(d) é sobrejetora?

(e) Existe uma base ortonormal de feita de autovetores de ? Se sua resposta foi afirmativa, exiba uma base ortonormal de feita de autovetores de . Se sua resposta foi negativa, justifique.

(f) é ortogonalmente diagonalizável? Se sua resposta foi afirmativa, diagonalize ortogonalmente. Se sua resposta foi negativa, justifique.

(g) Use a definição de e dê uma justificativa geométrica para encontrar novamente os autoespaços de .

(h) Use a definição de e dê uma justificativa geométrica para encontrar novamente os autovalores de .