PUCRIO, Álgebra Linear I, G2-2017.2, Questão 2e
Seja a transformação linear que é a reflexão com relação ao plano de equação
e) Encontre três vetores e, satisfazendo simultaneamente:
- e são três autovetores distintos de
- e .
Passo 1
Queremos encontrar 3 autovetores de que sejam perpendiculares entre si.
Como a transformação é uma reflexão por um plano, os vetores que mantém a direção, ou seja, os autovetores, são aqueles pertencentes ao plano e aqueles da reta perpendicular ao plano.
Bom, primeiramente, é claro que os vetores da reta perpendicular (gerada pelo vetor normal) vão ser sempre perpendiculares aos do plano. Então vou pegar o vetor diretor da reta, para ser meu .
Agora, vou pegar um vetor qualquer do plano para ser meu
Passo 2
Até agora foi molezinha, e meu ?
Vai ter as seguintes condições:
- pertencer ao plano
- ser ortogonal a , ou seja,
Assim, juntando essas duas equações, tenho um sisteminha:
Resolvendo, e o vai poder assumir qualquer valor.
Assim, escolhendo um qualquer, meu vai ser igual a
Resposta
e