Exercícios Resolvidos de Autovalores e Autovetores de uma Matriz

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Enunciado

Seja R : R 3 → R 3 a transformação linear que é a reflexão com relação ao plano Π de equação x + z = 0 .

e) Encontre três vetores v 1 , v 2   e   v 3 , satisfazendo simultaneamente:

  • v 1 , v 2   e   v 3 são três autovetores distintos de R ;
  • v 1 ⊥ v 2   ,   v 2 ⊥ v 3   e v 3 ⊥ v 1 .

Passo 1

Queremos encontrar 3 autovetores de R que sejam perpendiculares entre si.

Como a transformação é uma reflexão por um plano, os vetores que mantém a direção, ou seja, os autovetores, são aqueles pertencentes ao plano e aqueles da reta perpendicular ao plano.

Bom, primeiramente, é claro que os vetores da reta perpendicular (gerada pelo vetor normal) vão ser sempre perpendiculares aos do plano. Então vou pegar o vetor diretor da reta, 1,0 , 1 , para ser meu v 1 .

Agora, vou pegar um vetor qualquer do plano para ser meu v 2 :

v 2 = ( - 1,0 , 1 )

Passo 2

Até agora foi molezinha, e meu v 3 = ( x , y , z ) ?

Vai ter as seguintes condições:

  • pertencer ao plano x + z = 0
  • ser ortogonal a v 2 , ou seja, - 1,0 , 1 ∙ x , y , z = 0 ⟹ - x + z = 0

Assim, juntando essas duas equações, tenho um sisteminha:

x + z = 0 - x + z = 0

Resolvendo, x = 0 , z = 0 e o y vai poder assumir qualquer valor.

Assim, escolhendo um y qualquer, meu v 3   vai ser igual a   0,1 , 0 .

Resposta

v 1 = 1,0 , 1 ,   v 2 = ( - 1,0 , 1 )   e   v 3 = ( 0,1 , 0 )

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