P3 de Álgebra Linear I - MAT1200 da PUCRIO - 2014.1

À questão “Calcule as coordenadas do vetor na base ortogonal

De .” Joãozinho respondeu:

Joãozinho está errado, pois . Indique qual foi o erro que Joãozinho cometeu e explique a sua afirmação.

Enuncie a definição de complemento ortogonal de um subespaço vetorial de .

Verdadeiro ou Falso? Forneça uma justificativa para sua resposta.

A matriz é diagonalizável.

Seja a reflexão (espelhamento) em relação ao plano e

a matriz de na base de .

Da matriz , calcule os autovalores e o autoespaço associado ao maior autovalor.

Verdadeiro ou Falso? Forneça uma justificativa para sua resposta.

Se é soma direta dos subespaços e , então é o complemento ortogonal de . Noutras palavras, se , então . (Lembre: se, e somente se, ,

Verdadeiro ou Falso? Forneça uma justificativa para sua resposta.

Seja uma projeção sobre a reta . Sejam a matriz de numa base de e uma matriz invertível. Então,

Seja a reflexão (espelhamento) em relação ao plano e

A matriz de na base de .

Sejam e dois vetores em . Encontre valores numéricos para que garantam que

Seja a reflexão (espelhamento) em relação ao plano e

A matriz de na base de .

Sabendo que é uma base de cujos elementos são autovetores de , sendo e associados ao mesmo autovalor, encontre .

Dê um exemplo de um subespaço vetorial de tal que as duas seguintes condições sejam satisfeitas:

• não é autoespaço de , mas é invariante por

Se é uma transformação linear tal que para quaisquer dois vetores satisfaz:

Se e são autovetores associados respectivamente aos autovalores e com , então e são ortogonais.

Defina os conceitos que apareçam sublinhados na afirmação anterior.

Prove que dita afirmação é verdadeira.