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Exercícios Resolvidos de Reflexão Ortogonal

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Exercício 4123567891011121314151617

Enunciado

Projeção e Reflexão Ortogonal e Mínimos Quadrados

Seja T : R 3 ⟶ R 3 a reflexão (espelhamento) em relação ao plano π e

T γ = - 1 0 - 2 2 1 2 0 0 1

A matriz de T na base γ = { v 1 ,   v 2 , v 3 } de R 3 .

( b ) Sejam w 1 = a 1 v 1 + a 2 v 2 + a 3 v 3 e w 2 = b 1 v 1 + b 2 v 2 + b 3 v 3 dois vetores em R 3 . Encontre valores numéricos para a 1 , a 2 , a 3 ,   b 1 ,   b 2 ,   b 3 que garantam que π = w 1 , w 2 ⇔ π = s p a n { w 1 , w 2 }

Passo 1

Bom, aparentemente não temos nenhuma informação, então... vamos tentar olhar para a matriz T γ : você lembra como se constrói ela, né? Então vamos fazer o contrário. Nós sabemos que ela é assim:

T γ ⟵ γ = ↑ ↑ ↑ T ( v 1 ) γ T ( v 2 ) γ T v 3 γ ↓ ↓ ↓

Além, disso, a única coisa que sabemos sobre π é que nossa transformação reflete em torno dele, sendo assim:

R π v = v ,   v ∈ π

R π v = - v ,   v ∈ π ⊥

Vamos tentar verificar isso!

Passo 2

Usando a matriz T γ , podemos ver

T v 1 = - 1 v 1 + 2 v 2

T v 2 = v 2

T v 3 = - 2 v 1 + 2 v 2 + v 3

Podemos ver que T v 2 = v 2 logo v 2 ∈ π , por causa da definição da transformação reflexão.

Assim, possíveis coeficientes para w 1 seriam:

a 1 = a 3 = 0   e   a 2 = 1

w 1 = v 2

Passo 3

Outra informação que podemos tirar é fazendo:

T v 1 - T v 3 = - v 1 + 2 v 2 + 2 v 1 - 2 v 2 - v 3 = v 1 - v 3 ⇒

T v 1 - v 3 = v 1 - v 3

Ou seja, acabamos de verificar que v 1 - v 3 ∈ π . E assim, possíveis coeficientes para w 2 são:

b 1 = 1 ,   b 2 = 0 ,   b 3 = - 1

Resposta

a 1 = a 3 = 0   e   a 2 = 1

b 1 = 1 ,   b 2 = 0 ,   b 3 = - 1