Autovetores e Autovalores
Seja a reflexão (espelhamento) em relação ao plano e
A matriz de na base de .
Sabendo que é uma base de cujos elementos são autovetores de , sendo e associados ao mesmo autovalor, encontre .
Dê um exemplo de um subespaço vetorial de tal que as duas seguintes condições sejam satisfeitas:
- não é autoespaço de , mas é invariante por
Passo 1
Letra
Bom, nessa questão, o que ele está pedindo nada mais é do que a matriz diagonal dos autovetores. Lembre-se que essa matriz é a matriz que representa escrita na base dos autovetores!
Então vamos achar os autovalores com , já que matrizes em bases diferentes possuem os mesmos autovalores!
Passo 2
Como podemos ver que o segundo autovalor possui multiplicidade , pois é duas vezes raiz do polinômio característico, então se trata do autovalor associado a e , então eles vêm primeiro na matriz diagonal.
Então o último autovalor vem por último.
Passo 3
Letra
Uma possível solução é juntar autovetores de autoespaços diferentes, assim esse novo conjunto não é um autoespaço e satisfaz a condição de invariante e da dimensão.
Para
Passo 4
Para
Passo 5
Assim, se pegarmos , esse não será o autoespaço de nenhum autovalor e ainda satisfaz a condição de invariante.
OBS: Não só é contido como é igual.
Resposta