PUCRIO, G3-2019.1
Considere o plano de de equação cartesiana:
E as transformações lineares
- espelhamento no plano e
- projeção ortogonal no plano .
Denote por e as matrizes e na base canônica, respectivamente.
- Determine explicitamente matrizes , e tais que:
- Determine explicitamente a matriz .
- Considere a base de
Onde é ortogonal e e são diagonais.
Determine explicitamente a matriz , a matriz na base
Passo 1
Belezoca galerinha, primeiro de tudo vamos ver os vetores ortogonais e que geram o plano
O vetor ortogonal/normal a esse plano, é exatamente os coeficientes que acompanham as variáveis:
Logo o vetor normal é:
Belezinha, já os vetores que geram o plano, precisam obedecer a relação , e um dos vetores que obedecem essa relação é o , já que:
E de quebra, o vetor já é ortogonal ao vetor afinal o produto interno entre eles é nulo:
Agora para achar o terceiro vetor a gente pode fazer um produto vetorial entre os vetores que já encontramos, dessa forma vamos encontrar vetor que gera o plano e de sobra ele já vai sair ortogonal aos outros vetores, logo:
Portanto os vetores que geram o plano são:
E só pra ficar mais sagaz, vamos normalizar já essa base, dividindo os vetores pelos seus módulos, tal que:
E seu vetor normal é:
Que normalizado, fica assim:
Passo 2
Então quando ele diz que espelhamento no plano , ele quer dizer que o vetor normal está sendo refletido, tal que:
Enquanto os vetores do plano e permanecem exatamente no mesmo lugar:
Isso quer dizer que a transformação possui os autovalores associado ao autovetor e associado aos autovetores e .
Enquanto para a projeção ortogonal no plano , vamos possuir os mesmos autovetores só que com os autovalores diferentes, tal que:
Portanto a base de autovetores das transformações e é:
Passo 3
Iradoso, então na letra (a), ele pede pra gente explicitar as matrizes , e tais que:
Onde é ortogonal e e são diagonais. Só que essa é exatamente a decomposição com os autovetores e autovalores, onde é matriz com os autovetores normalizados da base nas colunas, e e são as matrizes diagonais com os autovalores respectivos de cada transformação, na diagonal principal, ou seja:
E como a matriz é uma matriz ortogonal, ela possui a propriedade de que , tal que:
Passo 4
Já na letra (b), pra determinar explicitamente é só a gente resolver a equação:
Substituindo os termos, temos que:
Logo:
Passo 5
Agora na letra (c), queremos determinar explicitamente a matriz onde:
E pra isso a gente pode dividir em duas etapas, primeiro escrevemos saindo da base canônica e indo pra base , pra isso a gente faz a multiplicação da matriz com cada vetor da base :
Logo, é dado pela junção de todos esses resultados:
Agora a segunda etapa, a gente precisa reescrever as colunas como combinação linear dos vetores da base , desse jeito:
Nesse caso, temos que a resposta do sistema é:
Então a primeira coluna escrita na base é dada por:
Fazendo isso para a segunda coluna , obtemos:
Logo:
E por fim, para a última coluna , obtemos:
Logo:
Isso quer dizer que nossa matriz é formada por esses vetores nas colunas, tal que: