Considere a transformação linear, cuja matriz na base canônica é:

1. Determine os autovalores de .
2. Determine, se possível, uma base de autovetores de .
3. Considere a matriz Determine o traço de .
4. Determine se existe uma base de tal que a matriz na base seja:

Se existe a base , determine-a explicitamente. Caso não exista tal base explique claramente os motivos.

5. Determine se existe uma base de tal que a matriz de na base seja:

Se existe a base , determine-a explicitamente. Caso não exista tal base explique claramente os motivos.

Então aplicando a regra de Sarrus pra encontrar esse determinante, temos que:

E como isso tem que ser igual a , temos:

E colocando essa equação do segundo grau, como um produto notável, obtemos:

Portanto, nossos autovalores são as raízes dessa solução:

Iradoso, agora que a gente já tem os autovalores da matriz, podemos encontrar a base de autovetores respectivos. Saca só, para encontrar um autovetor  associado à um autovalor , fazemos:

Belezoca, então por exemplo para o autovalor , temos que encontrar o núcleo de:

E escalonando essa matriz, obtemos que:

Então da primeira linha, tiramos que:

E na segunda linha, temos:

Logo o autovetor associado ao autovalor é:

Belezoca, agora para o autovalor , fazemos a mesma coisa:

E escalonando essa matriz, obtemos que:

Então da segunda linha, tiramos que:

E na primeira linha, temos:

Logo o autovetor associado ao autovalor é:

E por fim, para o último autovetor, vamos ter o autovalor , logo repetindo o processo dos outros autovetores, temos:

E escalonando essa matriz, obtemos que:

Então da segunda linha, tiramos que:

E na primeira linha, temos:

Logo o autovetor associado ao autovalor é:

Portanto, uma base de autovetores de é dada por:

Belezoca meus amores, o traço de uma matriz é dado pela soma da diagonal principal, por exemplo em:

O traço é:

Só que a malandragem aqui, é que esse traço, também pode ser medido pela soma dos autovalores, por exemplo na nossa matriz, vamos ter:

Então se a gente quer o traço da matriz , não precisamos descobrir a matriz na potência , basta a gente somar os autovalores na quinta potência, desse jeito olha:

Show de bola, agora na letra (d), a matriz que a gente quer encontrar na base é:

Que por pura coincidência do universo, é exatamente igual a matriz diagonal com os autovalores na diagonal principal:

E quando isso acontece, a gente pode decompor nossa matriz como:

Onde é a matriz diagonal, enquanto é a matriz que possui os autovetores nas colunas. E isso é uma mudança de base, de para a canônica . Isso quer dizer que a base que satisfaz nossa mudança de base, é a própria base de autovetores de :

Agora na letra (e), temos que a matriz é:

Que é a matriz diagonal com os valores na diagonal principal. Mas gente viu que quando isso acontece, pra escrevermos nossa matriz em outra base, precisaríamos ter autovetores associados a , ou seja, esses valores precisariam ser autovalores, só que isso impossível, já que nossos autovalores são:

Logo, não existe a base .