Determine a inversa da matriz

A = 1 2 0 2 3 1 2 1 1

Passo 1

Belezoca de motoca galerinha, pra calcular a inversa de uma matriz, usamos um algoritmo parecido com o de escalonamento, só que dessa vez colocamos a matriz A lado a lado com uma matriz identidade, desse jeito:

1 2 0 2 3 1 2 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Agora, o segredo é a gente escalonar a matriz A até ela se tornar a matriz a identidade, só que as operações que a gente fizer na matriz A a gente faz simultaneamente na matriz identidade que está do lado dela, saca só, escalonando primeiro termo da segunda linha, podemos fazer a segunda linha menos duas vezes a primeira, desse jeito:

1 2 0 2 3 1 2 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ⇒     L 2 = L 2 - 2 L 1   = 1 2 0 0 - 1 1 2 1 1 1 0 0 - 2 1 0 0 0 1

Viu só, a operação que a gente fez na matriz A , a gente também faz na identidade. Como se fossem uma matriz só!!

Passo 2

Então continuando o escalonamento, vamos zerar a parte inferior da diagonal principal.

1 2 0 0 - 1 1 2 1 1 1 0 0 - 2 1 0 0 0 1 ⇒     L 3 = L 3 - 2 L 1 = 1 2 0 0 - 1 1 0 - 3 1 1 0 0 - 2 1 0 - 2 0 1

1 2 0 0 - 1 1 0 - 3 1 1 0 0 - 2 1 0 - 2 0 1 ⇒     L 3 = L 3 - 3 L 2 = 1 2 0 0 - 1 1 0 0 - 2 1 0 0 - 2 1 0 4 - 3 1

1 2 0 0 - 1 1 0 0 - 2 1 0 0 - 2 1 0 4 - 3 1 ⇒     L 3 = - 1 2 L 3 = 1 2 0 0 - 1 1 0 0 1 1 0 0 - 2 1 0 - 2 3 / 2 - 1 / 2

1 2 0 0 - 1 1 0 0 1 1 0 0 - 2 1 0 - 2 3 / 2 - 1 / 2 ⇒   L 2 = - L 2   = 1 2 0 0 1 - 1 0 0 1 1 0 0 2 - 1 0 - 2 3 / 2 - 1 / 2

Iradoso, agora a gente pode fazer pra parte superior da diagonal principal. Saca só:

1 2 0 0 1 - 1 0 0 1 1 0 0 2 - 1 0 - 2 3 / 2 - 1 / 2 ⇒   L 2 = L 2 + L 3   = 1 2 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 / 2 - 1 / 2 - 2 3 / 2 - 1 / 2

1 2 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 / 2 - 1 / 2 - 2 3 / 2 - 1 / 2 ⇒ L 1 = L 1 - 2 L 2     = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 - 1 1 0 1 / 2 - 1 / 2 - 2 3 / 2 - 1 / 2

BELEZOCA!!! Então quer dizer que segundo nosso método, a inversa de A é:

A - 1 = 1 - 1 1 0 1 2 - 1 2 - 2 3 2 - 1 2

Passo 3

E a gente pode testar isso fazendo a multiplicação entre as matrizes, já que o resultado do produto deve ser a identidade:

A A - 1 = I

Logo:

1 2 0 2 3 1 2 1 1 1 - 1 1 0 1 2 - 1 2 - 2 3 2 - 1 2 = 1 + 0 + 0 - 1 + 1 + 0 1 - 2 + 0 2 + 0 - 2 - 2 + 3 2 + 3 2 2 - 3 2 - 1 2 2 + 0 - 2 - 2 + 1 2 + 3 2 2 - 1 2 - 1 2

1 2 0 2 3 1 2 1 1 1 - 1 1 0 1 2 - 1 2 - 2 3 2 - 1 2 = 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Portanto, nossa matriz é de fato a inversa.

A - 1 = 1 - 1 1 0 1 2 - 1 2 - 2 3 2 - 1 2

Resposta

A - 1 = 1 - 1 1 0 1 2 - 1 2 - 2 3 2 - 1 2

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