PUCRIO, G3-2019.1
Considere a base ortonormal de
Os vetores estão escritos na canônica.
- Mostre que é uma base ortonormal de .
- Considere o vetor de cujas coordenadas na base canônica são . Determine a segunda coordenada do vetor na base .
- Determine explicitamente a matriz de mudança de base da base canônica à base .
- Determine explicitamente a matriz de mudança de base da base à base canônica.
Passo 1
Show de bolinhas galera, pra uma base ser orotonormal, os vetores presentes na base devem ser todos ortogonais entre si, isto é, o produto interno entre eles deve ser igual a . E além disso, a norma desses vetores deve ser igual a . Belezoca, sabendo disso, a gente pode testar primeiro a ortogonalidade entre os vetores. Para os dois primeiros, temos:
Show de bola, então os dois primeiros vetores são ortogonais, bora testar as outras combinações agora:
E por fim, para os dois últimos, temos:
Portanto, todos eles são ortogonais entre si. Agora falta a gente ver se a norma deles é igual a . Saca só, para norma ser igual a , o produto interno precisa também ser igual a , então fazendo o produto dos vetores com eles mesmos, temos:
Irado, fazendo com o próximo também, obtemos:
E por fim, com o primeiro vetor, temos:
Logo, todos os vetores da base são ortogonais e possuem norma igual . Portanto nossa base é ortonormal!
Passo 2
Belezera pessoal, na letra (b) queremos encontrar a segunda coordenada do vetor:
Na base dada por:
Logo, se vamos escrever o vetor nessa base, verificamos que:
Onde o vetor na base é dado por:
Portanto, a segunda coordenada de é , só que essa constante multiplica apenas o segundo vetor da base , e o mais legal de tudo é que todos os outros vetores são ortonormais a ele. Então a gente pode usar de toda malandragem do mundo para isolar essa constante , vamos aplicar o produto interno por dos dois lados da igualdade, desse jeito:
Distribuindo esse produto interno, temos:
E como os vetores são ortonormais, o produto interno entre vetores distinto é igual a , enquanto o produto interno com o próprio vetor é igual a , tal que:
Isso quer dizer que nossa segunda coordenada é dada pelo produto interno entre e :
Passo 3
Belezoca meus amores, agora na letra (b) queremos encontrar a matriz de mudança de base da base canônica à base . Logo, queremos encontrar a matriz que:
Onde a matriz mudança de base é a nossa matriz tal que:
Onde pega um vetor na base canônica e leva pra base . Só que a sagacidade aqui é que estamos partindo da base canônica, onde não existem alterações na forma do vetor, isso quer dizer que a matriz pode ser escrita apenas com os vetores da base nas colunas, desse jeito:
Passo 4
Iradoso galera, a matriz pega um vetor na base canônica e leva pra base MAAASS a matriz faz exatamente o contrário, tal que:
E o bizu matador aqui é que a regrinha para inverter matrizes ortogonais diz ora gente que a inversa de uma matriz ortogonal é igual a sua transposta:
Logo:
Resposta
- Demonstração.