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2º EE de Álgebra Linear da UFPE - 2019.1

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Álgebra Linear - UFPE

Mostre que:

a) Se T : V → V é um isomorfismo e se λ é um autovalor de T , então λ ≠ 0 e 1 λ é autovalor da inversa T - 1 : V → V .

b) Não existe uma transformação linear S : P 2 → R 4 tal que dim ⁡ ker ⁡ T = dim ⁡ I m ( T ) .

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Seja T :   M 2 × 2 R → M 2 × 2 R a transformação linear T x y z w = 1 2 - 2 - 4 x y z w = x + 2 z y + 2 w - 2 x - 4 z - 2 y - 4 w .

a) Determine bases para k e r ⁡ ( T ) e I m ( T ) .

b) T é um isomorfismo? Justifique.

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Seja T :   R 3 → R 3 a transformação linear dada por T x 1 ,   x 2 ,   x 3 = ( x 1 - x 2 + x 3 ,   x 1 - 2 x 3 ,   2 x 1 + x 2 ) .

a) Sendo C a base canônica de R 3 , determine T C C .

b) Com respeito à base B = { 1 ,   0 ,   - 1 ,   - 1 ,   0 ,   2 ,   0 ,   2 ,   0 } , determine I B C e T B C .

c) Seja agora S :   R 2 → R 2 a transformação linear tal que S 1 ,   1 = ( 1 ,   2 ) e S - 2 ,   0 = ( 3 ,   4 ) . Determine S ( x ,   y ) .

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Seja S :   R 3 → R 3 a transformação linear cuja matriz S C C com respeito à base canônica C é dada por S C C = 0 0 - 2 - 2 2 - 2 - 2 0 0 .

a) Determine os autovalores de S .

b) Determine uma base para cada autoespaço de S .

c) Exiba uma base B tal que S B B seja diagonal (e exiba essa matriz).

d) Seja S 2019 :   R 3 → R 3 , S 2019 = S ∘ S ∘ … ∘ S . Determine S 2019 C C .

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Listas de Exercícios Resolvidos

2º EE - 2017.11º EE - 2018.1PF - 2016.1PF - 2017.11º EE - 2018.2PF - 2018.13º EE - 2018.13º EE - 2019.13º EE - 2019.21ª exercício escolar - 2020.1