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Exercícios Resolvidos de Matriz de Mudança de Base

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Enunciado

Seja T :   R 3 → R 3 a transformação linear dada por T x 1 ,   x 2 ,   x 3 = ( x 1 - x 2 + x 3 ,   x 1 - 2 x 3 ,   2 x 1 + x 2 ) .

a) Sendo C a base canônica de R 3 , determine T C C .

b) Com respeito à base B = { 1 ,   0 ,   - 1 ,   - 1 ,   0 ,   2 ,   0 ,   2 ,   0 } , determine I B C e T B C .

c) Seja agora S :   R 2 → R 2 a transformação linear tal que S 1 ,   1 = ( 1 ,   2 ) e S - 2 ,   0 = ( 3 ,   4 ) . Determine S ( x ,   y ) .

Passo 1

a) Vamos chamar de e 1 , e 2 e e 3 os vetores de C . De acordo com o T ( x 1 ,   x 2 ,   x 3 ) dado no enunciado, a gente tem que

T e 1 = 1 ,   1 ,   2 = 1 e 1 + 1 e 2 + 2 e 3

T e 2 = - 1 ,   0 ,   1 = - 1 e 1 + 0 e 2 + 1 e 3

T e 3 = 1 ,   - 2 ,   0 = 1 e 1 - 2 e 2 + 0 e 3

Então, colocando os coeficientes na matriz temos que T C C = 1 - 1 1 1 0 - 2 2 1 0 .

Passo 2

b) Primeiro vamos pela lógica para encontrar I B C : I B C é a matriz inversa de I C B . Como C é a base canônica, I C B é a matriz cujas colunas são os vetores de B .

I C B = 1 - 1 0 0 0 2 - 1 2 0

Então vamos calcular a inversa de I C B para encontrarmos I B C .

Passo 3

Utilizando o método de Gauss-Jordan para encontrar a matriz inversa:

1 - 1 0 0 0 2 - 1 2 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1

L 3 → L 3 + L 1

1 - 1 0 0 0 2 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1

L 2 → L 2 2

1 - 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 / 2 0 1 0 1

L 1 → L 1 + L 3

1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 0 1 0 1 / 2 0 1 0 1

L 2 ⇔ L 3

1 0 0 0 1 0 0 0 1 2 0 1 1 0 1 0 1 / 2 0

Então, I B C = 2 0 1 1 0 1 0 1 / 2 0 .

Passo 4

Para encontrar T B C vamos usar a relação T B C = I B C . T C C . I C C .

Lembrando que I C C é a matriz identidade, teremos que:

T B C = 2 0 1 1 0 1 0 1 / 2 0 . 1 - 1 1 1 0 - 2 2 1 0

Multiplicando as matrizes, vamos ter que

T B C = 4 - 1 2 3 0 1 1 / 2 0 - 1

Passo 5

c) Dado ( x ,   y ) , temos que procurar a e b tais que

* :   x ,   y = a 1 ,   1 + b ( - 2 ,   0 )

Multiplicando os vetores pelos coeficientes e fazendo a soma, a gente chega que x = a - 2 b e y = a .

Então, os coeficientes são a = y e b = y - x 2 .

Aplicando a transformação S em * , vamos ter

S x ,   y = a . S 1 ,   1 + b . S ( - 2 ,   0 )

Como o enunciado já nos deu essas transformações S da igualdade acima:

S x ,   y = y . ( 1 ,   2 ) + y - x 2 ( 3 ,   4 )

Então, por fim:

S x ,   y = 5 y - 3 x 2 ,   4 y - 2 x

Resposta

a)   T C C = 1 - 1 1 1 0 - 2 2 1 0

b)   I B C = 2 0 1 1 0 1 0 1 / 2 0

T B C = 4 - 1 2 3 0 1 1 / 2 0 - 1

c) S x ,   y = 5 y - 3 x 2 ,   4 y - 2 x

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