Mostre que:
a) Se é um isomorfismo e se é um autovalor de , então e é autovalor da inversa .
b) Não existe uma transformação linear tal que .
Passo 1
a) Vamos supor tal que . Se tivéssemos , teríamos que e aí . Masss, isso não é possível, porque é um isomorfismo. Então de fato .
Se aplicarmos na igualdade vamos ter
Como , temos que realmente é um autovalor de .
Passo 2
b) De acordo com o teorema núcleo-imagem, se é uma transformação linear, .
Se tivéssemos teríamos:
O que é um absurdo. Logo, não existe tal transformação linear tal que .
Resposta
Demonstração.