Seja a transformação linear .
a) Determine bases para e .
b) é um isomorfismo? Justifique.
Passo 1
a) Primeiro vamos encontrar uma base para
pertence a se e somente se
Daí temos que e .
Então vai ser dado por
Decompondo essa matriz na soma de duas matrizes:
As matrizes e são L.I., pois não existe tal que .
Logo, como elas são L.I., formam uma base para .
Passo 2
Agora vamos encontrar uma base para . Pelo que o enunciado nos deu, temos que
Decompondo a matriz:
Como as matrizes e são L.I., elas formam uma base para .
Obs: poderíamos também pegar as duas últimas matrizes, pois também são L.I. entre si.
Passo 3
b) Da letra a, temos que . Então, não é um isomorfismo.
Resposta
a)
b) Não, pois .