Seja T :   M 2 × 2 R → M 2 × 2 R a transformação linear T x y z w = 1 2 - 2 - 4 x y z w = x + 2 z y + 2 w - 2 x - 4 z - 2 y - 4 w .

a) Determine bases para k e r ⁡ ( T ) e I m ( T ) .

b) T é um isomorfismo? Justifique.

Passo 1

a) Primeiro vamos encontrar uma base para k e r ⁡ ( T )

x y z w pertence a k e r ⁡ ( T ) se e somente se x + 2 z = 0 y + 2 w = 0 - 2 x - 4 z = 0 - 2 y - 4 w = 0

Daí temos que x = - 2 z e y = - 2 w .

Então k e r ⁡ ( T ) vai ser dado por

ker ⁡ T = - 2 z - 2 w z w : z ,   w ∈ R

Decompondo essa matriz na soma de duas matrizes:

ker ⁡ T = - 2 z 0 z 0 + 0 - 2 w 0 w : z ,   w ∈ R

ker ⁡ T = z - 2 0 1 0 + w 0 - 2 0 1 : z ,   w ∈ R = g e r - 2 0 1 0 ,   0 - 2 0 1

As matrizes - 2 0 1 0 e 0 - 2 0 1 são L.I., pois não existe α tal que - 2 0 1 0 = α 0 - 2 0 1 .

Logo, como elas são L.I., formam uma base para k e r ⁡ ( T ) .

Passo 2

Agora vamos encontrar uma base para I m ( T ) . Pelo que o enunciado nos deu, temos que

I m T = x + 2 z y + 2 w - 2 x - 4 z - 2 y - 4 w ,   x ,   y ,   z ,   w ∈ R

Decompondo a matriz:

I m T = x 0 - 2 x 0 + 0 y 0 - 2 y + 2 z 0 - 4 z 0 + 0 2 w 0 - 4 w ,   x ,   y ,   z ,   w ∈ R

I m T = x 1 0 - 2 0 + y 0 1 0 - 2 + z 2 0 - 4 0 + w 0 2 0 - 4 ,   x ,   y ,   z ,   w ∈ R

I m T = g e r 1 0 - 2 0 ,   0 1 0 - 2

Como as matrizes 1 0 - 2 0 e 0 1 0 - 2 são L.I., elas formam uma base para I m ( T ) .

Obs: poderíamos também pegar as duas últimas matrizes, pois também são L.I. entre si.

Passo 3

b) Da letra a, temos que ker ⁡ T ≠ { 0 V } . Então, T não é um isomorfismo.

Resposta

a) ker ⁡ T = g e r - 2 0 1 0 ,   0 - 2 0 1

I m T = g e r 1 0 - 2 0 ,   0 1 0 - 2

b) Não, pois ker ⁡ T ≠ { 0 V } .

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