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Exercícios Resolvidos de Elevando Matrizes a Expoentes Reais

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Enunciado

Seja S :   R 3 → R 3 a transformação linear cuja matriz S C C com respeito à base canônica C é dada por S C C = 0 0 - 2 - 2 2 - 2 - 2 0 0 .

a) Determine os autovalores de S .

b) Determine uma base para cada autoespaço de S .

c) Exiba uma base B tal que S B B seja diagonal (e exiba essa matriz).

d) Seja S 2019 :   R 3 → R 3 , S 2019 = S ∘ S ∘ … ∘ S . Determine S 2019 C C .

Passo 1

a) Para encontrar os autovalores de S temos que:

p ( λ ) = d e t ⁡ ( S C C - λ I )

p ( λ ) = - λ 0 - 2 - 2 2 - λ - 2 - 2 0 - λ

p ( λ ) = - λ 0 - 2 - 2 2 - λ - 2 - 2 0 - λ

p λ = - ( 2 - λ ) ² ( 2 + λ )

p λ = - ( 2 - λ ) ² ( 2 + λ )

As raízes de p ( λ ) são

2 - λ ' = 0 →   λ ' = 2

2 + λ ' ' = 0 → λ ' ' = - 2

λ ' e λ ' ' são os autovalores de S .

Passo 2

Agora vamos encontrar uma base para I m ( T ) . Pelo que o enunciado nos deu, temos que

I m T = x + 2 z y + 2 w - 2 x - 4 z - 2 y - 4 w ,   x ,   y ,   z ,   w ∈ R

Decompondo a matriz:

I m T = x 0 - 2 x 0 + 0 y 0 - 2 y + 2 z 0 - 4 z 0 + 0 2 w 0 - 4 w ,   x ,   y ,   z ,   w ∈ R

I m T = x 1 0 - 2 0 + y 0 1 0 - 2 + z 2 0 - 4 0 + w 0 2 0 - 4 ,   x ,   y ,   z ,   w ∈ R

I m T = g e r 1 0 - 2 0 ,   0 1 0 - 2

Como as matrizes 1 0 - 2 0 e 0 1 0 - 2 são L.I., elas formam uma base para I m ( T ) .

Obs: poderíamos também pegar as duas últimas matrizes, pois também são L.I. entre si.

Passo 3

b) Primeiro vamos calcular a base para V 2 , o autoespaço relacionado a λ ' . Temos que x 1 x 2 x 3 ϵ   V 2 se e somente se:

0 0 - 2 - 2 2 - 2 - 2 0 0 . x 1 x 2 x 3 = 2 x 1 x 2 x 3

Multiplicando as matrizes temos que

- 2 x 3 - 2 x 1 + 2 x 2 - 2 x 3 - 2 x 1 = 2 x 1 2 x 2 2 x 3

Da segunda linha, temos que

- 2 x 1 + 2 x 2 - 2 x 3 = 2 x 2

2 x 1 = - 2 x 3

x 1 = - x 3

Então:

V 2 = - x 3 x 2 x 3 , x 2 ,   x 3 ∈ R

Decompondo a matriz:

V 2 = 0 x 2 0 + - x 3 0 x 3 , x 2 ,   x 3 ∈ R

V 2 = x 2 0 1 0 + x 3 - 1 0 1 , x 2 ,   x 3 ∈ R = g e r 0 1 0 ,   - 1 0 1

Como v 1 = - 1 0 1 e v 2 = 0 1 0 são L.I, eles formam uma base para V 2 .

Passo 4

Beleza, agora vamos calcular para V - 2 , o autoespaço relacionado a λ ' . Temos que x 1 x 2 x 3 ϵ   V 2 se e somente se:

0 0 - 2 - 2 2 - 2 - 2 0 0 . x 1 x 2 x 3 = - 2 x 1 x 2 x 3

Multiplicando as matrizes temos que:

- 2 x 3 - 2 x 1 + 2 x 2 - 2 x 3 - 2 x 1 = - 2 x 1 - 2 x 2 - 2 x 3

Da primeira linha, temos que x 1 = x 3 .

Da segunda linha, temos - 4 x 1 = - 4 x 2 → x 1 = x 2 .

Logo, x 1 = x 2 = x 3 .

Então, v 3 = 1 1 1 é uma base de V - 2 .

Passo 5

c) Se chamarmos de B a base formada por v 1 ,   v 2 e v 3 (encontrados na letra b), teremos que

S B B = 2 0 0 0 2 0 0 0 - 2

Passo 6

d) Antes de tudo, temos que S 2019 C C = ( S C C ) 2019 .

Pela fórmula de mudança de base S C C = P . S B B . P - 1 , , onde P = I C B é formado pelos vetores v 1 , v 2 e v 3 . Logo P = - 1 0 1 0 1 1 1 0 1 , enquanto S B B = 2 0 0 0 2 0 0 0 - 2 .

Beleza, agora podemos começar o exercício propriamente dito.

Passo 7

Vamos calcular P - 1 utilizando o método de Gauss-Jordan

- 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1

L 3 → - 1 . L 1 :

1 0 - 1 0 1 1 1 0 1 - 1 0 0 0 1 0 0 0 1

L 3 → L 3 - L 1 :

1 0 - 1 0 1 1 0 0 2 - 1 0 0 0 1 0 1 0 1

L 3 → L 3 2 :

1 0 - 1 0 1 1 0 0 1 - 1 0 0 0 1 0 1 / 2 0 1 / 2

L 1 → L 1 + L 3 :

1 0 0 0 1 1 0 0 1 - 1 / 2 0 1 / 2 0 1 0 1 / 2 0 1 / 2

L 2 → L 2 - L 3 :

1 0 0 0 1 0 0 0 1 - 1 / 2 0 1 / 2 - 1 / 2 1 - 1 / 2 1 / 2 0 1 / 2

Então, P - 1 = - 1 / 2 0 1 / 2 - 1 / 2 1 - 1 / 2 1 / 2 0 1 / 2 .

Passo 8

Agora, como a diagonalização permite elevar matriz a expoentes, teremos que:

( S C C ) 2019 = P . S B B 2019 . P - 1

Logo:

S C C = - 1 0 1 0 1 1 1 0 1 2 0 0 0 2 0 0 0 - 2 2019 - 1 / 2 0 1 / 2 - 1 / 2 1 - 1 / 2 1 / 2 0 1 / 2

( S C C ) 2019 = - 1 0 1 0 1 1 1 0 1 2 2019 0 0 0 2 2019 0 0 0 ( - 2 ) 2019 - 1 / 2 0 1 / 2 - 1 / 2 1 - 1 / 2 1 / 2 0 1 / 2

Resposta

a) λ ' = 2

λ ' ' = - 2

b) V 2 = - 1 0 1 ,   0 1 0 e V - 2 = 1 1 1

c) B = - 1 0 1 ,   0 1 0 ,   1 1 1 . A matriz é 2 0 0 0 2 0 0 0 - 2 .

d) ( S C C ) 2019 = - 1 0 1 0 1 1 1 0 1 2 2019 0 0 0 2 2019 0 0 0 ( - 2 ) 2019 - 1 / 2 0 1 / 2 - 1 / 2 1 - 1 / 2 1 / 2 0 1 / 2

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Um operador T é chamado nilpotente se T k = 0 , a transformação linear nula, para algum inteiro positivo k. Demonstre que se T e nilpotente, então o único autovalor de Te0 .
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