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PF de Álgebra Linear da UFPE - 2015.1

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Álgebra Linear - UFPE

Sejam W e A os subconjuntos de M 2 × 2 R dados por W = a b c d : a + d = 0 e A = a b c d : a + d = - 1 .

a Mostre que W é um subespaço vetorial de M 2 × 2 R .

b Mostre que A é um subespaço afim de M 2 × 2 R e determine o subespaço vetorial ao qual ele é paralelo.

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Considere T : R 4 → R 4 ,   T x , y , z , w = x + 2 y + z + w , y + 2 z + w , z , x + 2 y + z + 2 w .

a Mostre que T é injetiva.

b Por que a e o Teorema do Núcleo e da Imagem implicam que T é um isomorfismo? Justifique.

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Considere T : R 4 → R 4 ,   T x , y , z , w = x + 2 y + z + w , y + 2 z + w , z , x + 2 y + z + 2 w .

c Sendo T - 1 a inversa de T , calcule T - 1 5,4 , 1,6 .

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Seja T : R 3 → R 3 a rotação de ângulo θ = π 4 em torno do esixo orientado determinado pelo vetor unitário u = 1 3 - 2 , - 2,1 .

a Encontre uma base ortonormal β de R 3 tal que T β β = 1 0 0 0 cos ⁡ θ - sin ⁡ θ 0 sin ⁡ θ cos ⁡ θ .

b Sendo ϵ a base canônica de R 3 , calcule T ϵ ϵ .

c Qual dos itens a seguir corresponde ao autoespaço de T associado ao autovalor 1 ? Justifique.

i   1,1 , 4                     i i 1,1 , 4                     i i i 1 3 - 2 , - 2,1                     i v - 2 , - 2,1

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Listas de Exercícios Resolvidos

3º EE - 2014.22º EE - 2017.1PF - 2016.1PF - 2017.12º EE - 2019.1PF - 2018.12º EE - 2019.23º EE - 2019.11º EE - 2022.11ª exercício escolar - 2020.1