A2 T22 T20 A5 T3
Seja a rotação de ângulo em torno do esixo orientado determinado pelo vetor unitário .
Encontre uma base ortonormal de tal que .
Sendo a base canônica de , calcule .
Qual dos itens a seguir corresponde ao autoespaço de associado ao autovalor ? Justifique.
Passo 1
Qualquer base ortonormal , onde será uma base que vai satisfazer o que foi pedido! Se definirmos como:
Vemos que ele é normal e ortogonal em relação a . Sendo assim, podemos achar com o produto vetorial entre e :
Então:
A ordem do produto vetorial aqui não faz diferença. Você apenas acharia o com sinal trocado, mas continuaria sendo uma base que satisfaz o que foi pedido!
Passo 2
Temos que:
Já temos a matriz , e a matriz podemos obter simplesmente jogando os vetores de nas colunas de uma matriz:
Já a matriz é a inversa de . Por sorte, é uma matriz ortogonal! Então sua inversa é igual a sua transposta! Substituindo tudo na fórmula, temos:
Meio assustadoramente grande essa resposta, mas é isso mesmo =)
Passo 3
Pra aliviar da contarada toda que teve na botaram uma teórica no final haha. O autoespaço de uma rotação no associado ao autovalor será sempre o eixo em torno do qual estamos girando lembra? Então o autoespaço é dado pelo item !
Repare que o vetor do item tem a direção certa, mas ele está representado como um conjunto, e não como um espaço gerado! Como a letra pediu o autoespaço, precisamos dar um espaço gerado como resposta ;)
Resposta
Alternativa .