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Exercícios Resolvidos de Teorema Núcleo Imagem

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Enunciado

A2 T13 T14

Considere T : R 4 → R 4 ,   T x , y , z , w = x + 2 y + z + w , y + 2 z + w , z , x + 2 y + z + 2 w .

a Mostre que T é injetiva.

b Por que a e o Teorema do Núcleo e da Imagem implicam que T é um isomorfismo? Justifique.

Passo 1

a Para que T seja injetiva precisamos que N u c T = 0 . Em outras palavras, precisamos que a única solução do sistema abaixo seja 0,0 , 0,0 :

1 2 1 1 0 1 2 1 0 0 1 0 1 2 1 2 x y z w = 0 0 0 0

Onde a matriz do sistema é a representação de T na base canônica.

Se escalonarmos a matriz aumentada teremos:

1 2 1 1 0 1 2 1 0 0 1 0 1 2 1 2 0 0 0 0 → L 4 ← L 4 - L 1 1 2 1 1 0 1 2 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0

Pronto, essa foi rápida haha. Como nenhuma linha ficou zerada, a matriz é injetiva e T também é!

Passo 2

-

b Pelo Teorema do Núcleo e da Imagem, ou pros mais íntimos, T N I , temos:

dim ⁡ N u c T + dim ⁡ I m T = dim ⁡ D o m T

Da letra a temos que dim ⁡ N u c T = 0 . Logo:

dim ⁡ I m T = dim ⁡ D o m T

Como a dimensão da imagem é igual a dimensão do domínio, temos que a transformação é sobrejetiva.

Como ela é injetiva e sobrejetiva ao mesmo tempo, T é bijetiva, ou seja, é um isomorfismo.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)