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Exercícios Resolvidos de Subespaços Vetoriais

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Enunciado

A2 T5

Sejam W e A os subconjuntos de M 2 × 2 R dados por W = a b c d : a + d = 0 e A = a b c d : a + d = - 1 .

a Mostre que W é um subespaço vetorial de M 2 × 2 R .

b Mostre que A é um subespaço afim de M 2 × 2 R e determine o subespaço vetorial ao qual ele é paralelo.

Passo 1

a Para mostrarmos que W é um subespaço vetorial de M 2 × 2 , temos que mostrar que ele contém o vetor nulo e que ele é fechado para combinações lineares.

Como temos a + d = 0 , as matrizes de W tem essa cara:

a b c - a

Ele claramente contém o vetor nulo, basta que a = b = c = 0 .

Vamos ver se ele é fechado para a soma:

a 1 b 1 c 1 - a 1 + a 2 b 2 c 2 - a 2 = a 1 + a 2 b 1 + b 2 c 1 + c 2 - a 1 - a 2

Se definirmos a = a 1 + a 2 , b = b 1 + b 2 e c = c 1 + c 2 :

a 1 b 1 c 1 - a 1 + a 2 b 2 c 2 - a 2 = a b c - a

Logo, é fechado para a soma!

Agora se é fechado para produto por escalar:

λ a 1 b 1 c 1 - a 1 = λ a 1 λ b 1 λ c 1 - λ a 1

Se definirmos agora a = λ a 1 , b = λ b 1 e c = λ c 1 :

λ a 1 b 1 c 1 - a 1 = a b c - a

Logo, é fechado para o produto por escalar. Chegamos a conclusão então de que W é um subespaço vetorial de M 2 × 2 R .

Passo 2

b Como agora temos que a + d = - 1 , a forma geral das matrizes de A é:

a b c - 1 - a = 0 0 0 - 1 + a b c - a

Repare então que A é o subespaço W transladado pelo vetor 0 0 0 - 1 ! Isso mostra que A é um subespaço afim de M 2 × 2 , pararelo ao subespaço vetorial W .

Resposta

b Paralelo à W .

Exercícios de Livros Relacionados

No problema, é apresentado um subconjunto de R 2 . Verificar se é um subespaço vetorial do R 2 , relativamente às operações de adição e multiplicação por escalar usuais. S = { x , y ,y = - x }
b. {B in M_n n| A B != B A } .
1.2.4. Seja A uma matriz n × n fixada. Determine se os conjuntos dados são ou não espaços vetoriais.a. B ∈ M n nA B = B A } .
Quais dos seguintes conjuntos de vetores geram o R 4 ? a. 1,0 , 0,1 , 0,1 , 0,0 , 1,1 , 1,1 , 1,1 , 1,0 ;
No problema, é apresentado um subconjunto de R 3 . Verificar se é subespaço em relação às operações de adição e multiplicação por escalar usuais. Se for subespaço, mostrar que as duas condições estão