P2 de Cálculo 1 da USP - 2010

Calcule:

Calcule a área da região

Na figura abaixo, e são retas paralelas, a distância entre elas é , é um ponto fixo de , e são pontos fixos de e a distância entre eles é . É possível encontrar um ponto na reta , de modo que o segmento intercepte e que a soma das áreas dos triângulos sombreados na figura seja mínima? E máxima? Nos casos em que a resposta for afirmativa, encontre a altura do triângulo .

Seja .

Quantas raízes reais distintas tem a equação ?

Mostre que a equação tem exatamente três raízes reais distintas.

Seja .

Determine o domínio de e os intervalos de crescimento e decrescimento de .

Verifique que . Determine e estude a concavidade de .

Calcule os limites necessários e esboce o gráfico de .