Esboço de Curvas
Seja .
Quantas raízes reais distintas tem a equação ?
Mostre que a equação tem exatamente três raízes reais distintas.
Passo 1
Vamos calcular derivando a função duas vezes:
Ora, a derivada segunda tem grau . Nada podemos inferir sobre o número de suas raízes reais por enquanto. Exemplo, poderiam ser ou só uma raiz. Agora, olha o que podemos fazer:
Repara, essa função será sempre positiva, já que e são maiores que e a potência sempre será positiva também! Podemos concluir então que será, portanto, estritamente crescente. Ora, se temos que
Concluímos que vai vir de , crescerá até cortar o eixo num ponto qualquer e daí continuará crescendo em direção a . Assim, só cruzará o eixo uma vez, tendo ela só uma raiz!
Passo 2
Temos que dividir essa questão em duas partes: provar que tem ao menos três raízes; e provar que tem exatamente raízes. Vamos começar pela prova de ao menos raízes.
Lembra do método clássico para determinar raízes? É o Teorema do Valor Intermediário, que diz que se uma função muda de sinal num intervalo e é contínua no mesmo intervalo sabemos que ela tem, no mínimo, uma raiz nesse intervalo. Agora, como chutar da cabeça pontos para analisar a função e seu sinal aleatoriamente? Geralmente quando caímos nesse tipo de questão e não temos nenhum valor de de cara para chutar tentamos e inteiros próximos a ele. Vou substituir , , e para ver se já ocorrem três mudanças de sinal no intervalo:
Como comprovamos, a função muda de sinal de a , de a , e de a . Concluímos que existem, no mínimo raízes para a função.
Passo 3
Pensando agora em como provar que não existem mais que raízes, para a função devemos recorrer à sua derivada segunda e terceira. Assim como provamos no item da questão, só tinha uma raiz, já que era estritamente positiva, sendo a estritamente crescente.
Tem só uma raiz, nós podemos presumir que o número máximo de raízes de é . Para ajudar a visualizar, imagina, por exemplo que é uma reta e uma parábola. Ora, se a reta cruza uma só vez o eixo , sua integral pode ser uma parábola de , ou raízes, mas nunca mais que isso, pois o regime de crescimento de depende do sinal de que é positivo em uma região e será negativo em outra.
tendo no máximo duas raízes nos garante que, por um raciocínio similar ao que tivemos, o máximo de raízes de é . Enfim, provamos que não pode ter mais que raízes, então garantimos que tem exatamente raízes.