P2 de Cálculo 1 da USP - 2021 - IME

Seja dada por . O valor da integral é:

Considere a seguinte região do plano: . O volume do sólido obtido pela rotação de A em torno da reta horizontal é igual a:

Seja uma função derivável, com derivada continua tal que para todo . Sabendo que e , o valor da integral:

É:

Sejam e A área da região limitada pelos gráficos de e e pelas retas e é igual a:

Seja uma função derivável tal que . Suponha que seja duas vezes derivável em e que . Suponha ainda que se . O valor do limite

É:

Seja uma função contínua derivável satisfazendo as seguintes propriedades:

1. ;
2. ;

Considere também que a função definida por . Decida se cada afirmação é verdadeira ou falsa:

A) A equação possui exatamente uma solução real. A solução dessa equação é um número real estritamente positivo.

B) A equação possui exatamente duas soluções reais.

C) A função possui um único ponto de mínimo local.

D) A função possui ao menos um ponto de máximo local.

E) A equação possui ao menos uma solução real.

Seja uma função contínua satisfazendo as seguintes propriedades:

1. e
4. é derivável até segunda ordem em ;
5. Existe uma função contínua tal que para todo e
6. Existe uma função contínua tal que para todo e

(a) Usando a Regra de L’Hospital para calcular o limite, decida se é derivável em e determine, em caso afirmativo, .

(b) Estude f em relação a seus intervalos de crescimento e decrescimento, intervalos de concavidade, pontos de máximo e mínimo locais e globais e pontos de inflexão.

(c) Esboce o gráfico de .

Seja uma função contínua e considere definida por Sabendo que a reta tangente ao gráfico de no ponto tem equação o valor de ) é:

a)

b)

c)

d)

e)