USP – Sem campus – Cálculo 1 – Provas Antigas – P1 N3 – 2012.2 – 8
Seja uma função contínua e considere definida por Sabendo que a reta tangente ao gráfico de no ponto tem equação o valor de ) é:
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Faaala lindos, tudo em cima? Bora lá pra cima da questão! Mastigando o enunciado, a questão nos fala que existe uma função continua em todo o (espaço dos reais) que é definida por:
Beleza, uma função definida por um produto de duas funções, sendo uma delas uma integral. E olha o que mais interessante a questão nos fala: existe uma reta tangente ao gráfico de no ponto , que tem equação:
Mas gente, o que é essa reta tangente que vamos chamar de à alguma função em um certo ponto? É a melhor aproximação do valor daquele ponto na função . Ou seja, considerando como a reta tangente, temos que:
Salva essa informação!!
Terminando de mastigar o enunciado, a questão no final nos pede o valor de em um determinado ponto . Pois bem, munidos disso, vamos começar a desenvolver essa questão.
Passo 2
Lembra do que eu te falei sobre aquela ideia da reta tangente? Poisé, vamos usar ela agora. A questão fala pra gente que existe uma reta tangente a no ponto , que tem formato:
Ou seja, se aplicarmos o valor de nessa reta tangente, encontraremos o mesmo valor de , o que já é uma informação super útil. Dessa forma, aplicando esse ponto na reta tangente:
Belezura! E sabe o mais legal? A mesma regra vale para a derivada das duas funções. Ou seja:
Ou seja:
E agora José? Calma que no próximo passo vamos prosseguir!
Passo 3
Aqui partimos para uma terceira artimanha que podemos utilizar em integrais, especialmente em derivadas de integrais. Sabe como ele é definido? Se liga: a derivada de uma integral definida de uma função , é igual a:
Dessa forma, conseguimos calcular a derivada da nossa função :
Dessa forma, temos:
E aqui utilizamos a passagem que mostrei no início desse passo:
Logo, para:
Temos:
Desenvolvendo:
Vamos , só pra simplificar a escrita, chamar de . Portanto, temos que:
E, logo, a própria :
Passo 4
Beleza galera, e aqui que as coisas ficam mais claras pra gente! Agora que temos a cara da função , podemos utilizar os valores para o ponto que achamos no passo 2! Dessa forma,
Logo,
E, também temos:
Lá ele! Achamos o ! E conseguimos montar um sistema de forma:
Aplicando em , temos que:
Isolando , temos:
Encontrando justamente a alternativa a) como resposta!
E aqui encerramos nossa questão! Ou seja, alternativa correta é o item a). É isso gente boa! Se ficou alguma dúvida, quer dar alguma sugestão ou reportar algum erro, manda um feedback pra gente! Vamos adorar ajudar você