USP – Sem Campus – Cálculo 1 – Provas Antigas – P2 IME -2021.1 - 1
Seja uma função contínua derivável satisfazendo as seguintes propriedades:
- ;
- ;
Considere também que a função definida por . Decida se cada afirmação é verdadeira ou falsa:
A) A equação possui exatamente uma solução real. A solução dessa equação é um número real estritamente positivo.
B) A equação possui exatamente duas soluções reais.
C) A função possui um único ponto de mínimo local.
D) A função possui ao menos um ponto de máximo local.
E) A equação possui ao menos uma solução real.
Passo 1
Fala aí galerinha? Tudo bem com vocês? Bora resolver essa questão testando cada item por vez. Começando pelo A), ele nos diz que:
A)A equação possui exatamente uma solução real. A solução dessa equação é um número real estritamente positivo.
Para testarmos isso, usaremos o Teorema do Valor Intermediário. Ele nos garante que existe um único número real tal que . Mas, porque acontece isso? Ora, como a função é estritamente crescente, e o limite dela tende a infinito, e também como , com certeza tem algum valor entre
E
, para o qual . Você sabe como a gente garante que o TVI seja aplicável na questão? Pra gente saber se o Teorema do valor intermediário funciona aqui, temos que garantir que: a função seja contínua e também que:
E veja só, a questão nos afirma exatamente isso. Ela afirma pra gente que a função é contínua pois ela é sempre derivável em todos os reais. a derivada dela é positiva para todo núumero real, eE como a função é crescente, afirma exatamente que:
Logo, o TVI é aplicável e a afirmação é verdadeira!
Passo 2
Continuando para as próximas afirmações, vamos estudar o que acontece se derivarmos a função que a questão nos dá:
Como calcularemos a derivada dela? Bem, usaremos a regra do produto e regra da cadeia. Bem, primeiro calcularemos a derivada de:
Temos que:
Dessa forma, pela regra da cadeia:
Logo,
Temos:
Para todo . Já que em , a função e isso geraria uma indeterminação no termo:
Show. Para , os dois primeiros termos são estritamente positivos. Para o termo:
Ele só é positivo se, e somente se, ou . Mas vocês lembram do TVI que resolvemos no passo ? A partir dele sabemos que a nossa função é estritamente crescente e que:
e
Analogamente, podemos escrever isso como:
Passo 3
Belezinha, vamo continuar. Logo, a nossa derivada só é positiva se e somente se o ultimo termo também for positivo. Para isso acontecer (como eu mostrei anteriormente) precisamos que:
Escrevendo isso matematicamente:
E
E se a nossa derivada () é positiva em um intervalo, significa que nesse intervalo é crescente. Da mesma forma se a derivada for negativa em um intervalo, significa que para esse intervalo, nossa função é decrescente. Como a função decresce até limite de , ele é nosso único ponto de mínimo local de . E a função não tem máximos locais, já que ele cresce até . Com isso já matamos mais duas afirmações:
C)A função possui um único ponto de mínimo local. VERDADEIRA
D)A função possui ao menos um ponto de máximo local. FALSA
Passo 4
Agora nos resta duas afirmações restantes:
B)A equação possui exatamente duas soluções reais.
E)A equação possui ao menos uma solução real.
Garantindo que temos exatamente uma solução real em , somente a alternativa é falsa.
E é isso galerinha, terminamos a questão!Vamos investigar essas afirmações estudando o valor de no mínimo local
Resposta
a)