USP – Sem Campus – Cálculo 1 – Provas Antigas – P2 IME -2021.1 - 3
Seja dada por . O valor da integral é:
Passo 1
Fala aí galerinha? Tudo bem com vocês? Bora pra cima! Essa questão tenta assustar a gente, colocando uns limites de integração em forma de variável e tal. Mas gente, fiquem tranquilos que o que vamos fazer aqui nada mais é do que resolver uma integral, e depois usar o valor dessa integral pra resolver outra integral. A primeira que temos que resolver é:
A partir do Segundo Teorema Fundamental do Cálculo, podemos dizer que: para encontrar a integral definida de uma função de 𝘢 até 𝘣, precisamos calcular uma primitiva de , chamá-la de , e calcular. E quem é a primitiva de uma função? “Seja 𝑓 uma função definida num intervalo real . Uma primitiva (ou antiderivada) de 𝑓 em 𝐼 é uma função 𝐹 definida em 𝐼 onde para qualquer 𝑥 ∈ 𝐼".
Logo, é derivável e pela regra da cadeia:
Passo 2
Agora precisamos calcular a próxima integral, dada por:
Aqui vamos resolver a partir de integral por partes. Sendo e . Logo, e . Montando nossa integração por partes:
Logo,
Passo 3
Agora que montamos o limite, vamos responder! Temos que:
Aplicando L’hospital mais uma vez (separadamente em cada limite), temos:
Mas pera aí, quem é ? Isso mesmo, a questão nos dá! . Portanto:
Agora resolvendo o outro limite:
Aplicando o limite de derivação (0), temos:
Justando tudo:
Ou seja
E acabamos a questão, certo? ERRADO!
Passo 4
Nós calculamos o limite do expoente de , lembra? Nossa expressão era:
E como já achamos o valor do nosso limite, nossa expressão se torna:
Que pode ser escrita como:
E agora sim acabamos nossa questão! Item correto é o item d)
Resposta
d)