Considere a seguinte região do plano: A = { x, y ∈ R² : x² - 2x - 3 ≤ y ≤ -x² + 1 } . O volume do sólido obtido pela rotação de A em torno da reta horizontal y = -5 é igual a:

Passo 1

Fala aí galerinha? Tudo bem com vocês? Bora pra cima! Primeiro, temos que interpretar o que é essa região do plano A para depois rotacionarmos esse plano que a questão pede pra gente calcular. Essa região é dada pela intersecção de duas funções que a questão define pra gente como:

Podemos notar que no gráfico elas se interceptam em dois pontos. Para acharmos esses pontos, basta igualarmos as funções. Logo,

x 2 - 2 x - 3 = - x 2 + 1

2 x 2 - 2 x - 4 = 0

x 2 - x - 2 = 0

Logo, as raízes para esse polinômio são - 1 e 2 . E esses são justamente os limites de integração para calcularmos o volume do sólido de revolução da área.

Passo 2

Passo 3

Passo 4

Prosseguindo com os cálculos, o volume da região é dado por:

π ∫ - 1 2 ( G x 2 - F x 2 )   d x

Abrindo essa integral:

π ∫ - 1 2 - x 2 + 1 2 - x 2 - x - 3 2     d x

E por fim resolvendo:

V = 63 π

Resposta

V = 63 π

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