Listas de Cálculo 1 - USP de Cálculo 1 da USP - Lista 1

Calcule, quando existirem, os limites abaixo

Calcule, quando existirem, os limites abaixo

Calcule, quando existirem, os limites abaixo

Calcule, quando existirem, os limites abaixo

Calcule, quando existirem, os limites abaixo

Calcule, quando existirem, os limites abaixo

Calcule, quando existirem, os limites abaixo

Calcule, quando existirem, os limites abaixo

Calcule, quando existirem, os limites abaixo

Calcule, quando existirem, os limites abaixo

Calcule, quando existirem, os limites abaixo

Calcule, quando existirem, os limites abaixo

Calcule, quando existirem, os limites abaixo

Calcule, quando existirem, os limites abaixo

Calcule, quando existirem, os limites abaixo

1.1. Calcule, quando existirem, os limites abaixo:

p)

1.1. Calcule, quando existirem, os limites abaixo:

q)

1.1. Calcule, quando existirem, os limites abaixo:

r)

1.1. Calcule, quando existirem, os limites abaixo:

s)

1.1. Calcule, quando existirem, os limites abaixo:

t)

1.1. Calcule, quando existirem, os limites abaixo:

u)

1.1. Calcule, quando existirem, os limites abaixo:

v)

1.1. Calcule, quando existirem, os limites abaixo:

w)

1.1. Calcule, quando existirem, os limites abaixo:

x)

1.1. Calcule, quando existirem, os limites abaixo:

y)

1.1. Calcule, quando existirem, os limites abaixo:

z)

1.1. Calcule, quando existirem, os limites abaixo:

)

1.1. Calcule, quando existirem, os limites abaixo:

)

1.1. Calcule, quando existirem, os limites abaixo:

)

1.1. Calcule, quando existirem, os limites abaixo:

)

1.1. Calcule, quando existirem, os limites abaixo:

)

1.2. A resolução abaixo está INCORRETA. Indique onde ocorrem os erros e então calcule o limite correta.

2016) Os limites e valem, respectivamente,

a. e +; b. e −; c. e +; d. e −; e. nenhuma das anteriores;

Sejam c, L ∈ R tais que . Determine c e L.

Seja f : R → R uma f

1. Supondo que , calcule

Seja f : R → R uma f

(b) Supondo que , calcule

Seja f : R → R uma f

(c) Supondo que , calcule .

Dizemos que duas funções reais f e g, são equivalentes se . Indicamos isso escrevendo f ∼ g. Qual das afirmações abaixo NÃO é consequência de f ∼ g?

a. ; b. ; c. ; d. ; e. .

Decida se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa, justificando ou apresentando um contra-exemplo.

a. Se f , g : R → R são funções tais que f é limitada e positiva e , então tem-se que .

b. Se f , g : R → R são funções tais que f é limitada e , então tem-se que .

c. Se f , g : R → R são funções tais que , então .

Considere a afirmação “Sejam funções tais que e é limitada. Então ”. É correto dizer

1. Tal afirmação é verdadeira
2. Tal afirmação é verdadeira se supomos que
3. Tal afirmação é verdadeira se supomos que exista algum tal que para todo
4. Tal afirmação é verdadeira se supomos que exista algum tal que para todo
5. Tal afirmação é falsa para toda limitada

Dê exemplos de funções e tais que

Dê exemplos de funções e tais que

Dê exemplos de funções e tais que

Determine, se existir, o valor para que cada uma das funções abaixo seja contínua

Determine, se existir, o valor para que cada uma das funções abaixo sejam contínuas

Determine os pontos de continuidade de cada uma das funções abaixo

Qual das equações abaixo é a reta tangente ao gráfico em ?

Seja a função dada por . Para quantos valores de o gráfico de tem reta tangente horizontal?

1. Nenhum
2. 1
3. 2
4. 3
5. Infinitos

Considere a seguinte função dada por . Podemos afirmar que:

Explicite as derivadas de

Explicite as derivadas de

Explicite as derivadas de

Explicite as derivadas de

Derive:

Derive:

Derive:

Derive

d.

Derive

e.

Derive

f.

Derive

g.

Derive

h.

Derive

i.

Decida em que pontos as funções a seguir são deriváveis

a. .

Decida em que pontos as funções a seguir são deriváveis

b. .

Sejam f : R → R derivável em = 0 tal que f(0) = f ′ (0) = 0 e g : R → R uma função limitada (não necessariamente derivável em x0 = 0). A função h(x) = f(x)g(x) é derivável em = 0? Exiba h ′ (0) em caso afirmativo

Responda, justificando:

a. Se f + g é derivável em , é verdade que f e g são necessariamente deriváveis em ?

b. Se f · g é derivável em , quais condições sobre f garantem a derivabilidade de g em ?

Prove que:

a. Se f é derivável em , então | f(x)| é derivável em , desde que f() ≠0. Dê um contra-exemplo no caso em que f() = 0.

b. Não é possível escrever x = f(x)g(x) com f , g deriváveis tais que f(0) = g(0) = 0

Seja f uma função derivável em e considere a função . Calcule e . Interprete geometricamente os resultados obtidos.

Suponha que f é uma função derivável em = 0 e que f(0) = 0. Mostre que para alguma função g que é contínua em = 0.

Dica: O que acontece se você tentar escrever ?

Sejam f , g : R → R tais que:

(i) f é contínua em x = 0 e

(ii) g é descontínua em x = 0.

Pode-se concluir corretamente que é descontínua em x = 0 a função:

a. f + g; b. f g; c. f ◦ g; d. g ◦ f ; e. |g|.

3.33. Seja uma função dada implicitamente pela equação . Admitindo que é derivável, determine a reta tangente ao gráfico de no ponto .

3.34. Seja derivável, onde é um intervalo aberto contendo . Suponha que , para todo ∈ . Encontre e a equação da reta tangente ao gráfico de no ponto .

3.35. (P1-2016) Seja uma função derivável definida em um intervalo aberto centrado em e dada implicitamente pela equação . O valor de é

a)

b)

c)

d)

e)

4.1. Suponha que seja uma função injetora, derivável, e que sua inversa, , também seja derivável. Mostre que

Calcule a derivada das seguintes funções:

Calcule a derivada das seguintes funções:

Calcule a derivada das seguintes funções:

Derive:

Derive:

Derive:

Um objeto circular tem seu raio variando de maneira desconhecida, mas sabe-se que quando seu raio e , a taxa de variação deste e . Determine a taxa de variação da área do objeto no instante em que seu raio e .

Suponha agora que o objeto circular do exercício anterior e, na verdade, um equador de um objeto esférico. Determine a taxa de variação do volume do objeto e de sua área, quando o raio é .

A área entre dois círculos concêntricos variáveis �� constante igual a . A taxa de variação da área do círculo maior é de . Qual a taxa de variação do raio em relação ao tempo do círculo menor quando ele tem área ?

A partícula A se move ao longo do semieixo positivo e a partícula B move-se ao longo do gráfico da função . Num certo instante, a partícula A está no ponto (5, 0) e afasta-se da origem com velocidade unidades por segundo e a distância de B até a origem e unidades, afastando-se da origem com velocidade unidades por segundo. Qual a taxa de variação da distância entre A e B nesse instante?

Num certo instante , a altura de um triangulo cresce a razão e sua área aumenta a razão de . No instante , sabendo que sua altura a e sua área e , qual a taxa de variação em relação ao tempo da base do triangulo?

Despeja-se areia sobre o chão fazendo um monte que tem, a cada instante, a forma de um cone com diâmetro da base igual a três vezes a altura. Quando a altura do monte e de , a taxa de variação com que a areia e despejada e de . Qual a taxa de variação da altura do monte neste instante?

Uma lâmpada esta acesa no solo a de um edifício. Um homem de de altura anda a partir da luz em direção ao edifício a . Determine a velocidade com que o comprimento de sua sombra sobre o edifício diminui quando ele está a do edifício e quando ele está a do edifício.

Num motor a combustão, uma biela de tem uma de suas extremidades acoplada a uma manivela cujo raio é de . Na outra extremidade da biela está um pistão que se move quando a manivela gira (vide Figura abaixo). Sabendo que a manivela gira no sentido anti-horário a uma taxa constante de rotações por minuto, calcule a velocidade do pistão quando o ângulo de rotação do disco é (medido a partir da posição em que o pistão está mais afastado do disco).

Uma escada de bombeiro com está encostada na parede de um prédio e sua base se afasta da parede. Num certo instante, a base da escada se encontra a da parede e sua velocidade é de .

1. Qual a velocidade com a qual o topo da escada se move nesse instante?

Uma escada de bombeiro com está encostada na parede de um prédio e sua base se afasta da parede. Num certo instante, a base da escada se encontra a da parede e sua velocidade é de .

b) Considere o triângulo formado pela parede da casa, a escada e o chão. Calcule a taxa de variação da área deste triangulo no instante em que a base da escada se encontra a da parede.

Uma escada de bombeiro com está encostada na parede de um prédio e sua base se afasta da parede. Num certo instante, a base da escada se encontra a da parede e sua velocidade é de .

c) Calcule a taxa de variação do ângulo formado entre a parede da casa e a escada, quando a base da escada estiver a da parede.

1.1. Calcule, quando existirem, os limites abaixo:

)

1.1. Calcule, quando existirem, os limites abaixo:

)

Dê exemplos de funções f e g tais

d. e

Mostre que se e g é limitada, então

Determine os pontos de continuidade de cada uma das funções abaixo

Determine os pontos de continuidade de cada uma das funções abaixo

Seja f : R → R a função dada por f(x) = { , se ∈ Q; , se ∈ R \ Q.

O conjunto descontinuidades de f é: a. ∅; b. Q; c. R \ Q; d. R \ {0}; e. R.

Para que a função , se ; , se . seja contínua em R o valor da constante k deve ser:

a. −7; b. 1; c. 3; d. −1; e. −5.

Construa uma função f : R → R que é contínua em um único ponto.

Construa uma função f : R → R que é contínua somente em dois pontos.

Sejam e funções deriváveis em um intervalo aberto e

Mostre que é derivável em se e somente se e . Construa contraexemplos removendo uma das condições de cada vez

Verifique se cada uma das funções abaixo é contínua e se é derivável no ponto indicado.

Verifique se cada uma das funções abaixo é contínua e se é derivável no ponto indicado.

Verifique se cada uma das funções abaixo é contínua e se é derivável no ponto indicado.

Verifique se cada uma das funções abaixo é contínua e se é derivável no ponto indicado.

Seja uma função real tal que para todo . Então

a. pode ser descontínua em ;

b. é contínua em , mas pode não ser derivável em ;

c. é derivável em e ;

d. é derivável em e ;

e. é derivável em mas podemos apenas afirmar que .

Sabendo que é derivável em , calcule em termos de .

Considere a função f(x) = x|x|. Decida se f é derivável em e calcule f′(0) em caso afirmativo.

6.1. Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo:

a)

6.1. Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo:

b)

6.1. Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo:

c)

6.1. Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo:

d)

6.1. Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo:

e)

6.1. Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo:

f)

6.1. Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo:

g)