USP – Sem Campus – Cálculo 1 – Provas Antigas – P2 IME -2021.1 - 3
Seja uma função derivável tal que . Suponha que seja duas vezes derivável em e que . Suponha ainda que se . O valor do limite
É:
Passo 1
Fala aí galerinha? Tudo bem com vocês? Bora pra cima! Aqui na questão, precisamos calcular o limite de:
Que a questão nos dá. Porém, esse limite não é nada trivial. Precisamos modificar a cara dele um pouquinho pra podemos manipular ele. A questão nos diz que é derivável 2 vezes e esse valor de .
Mas aí você deve tá se perguntando... como a gente modifica a cara dessa expressão? Pra isso, vamos utilizar um artificio que podemos reescrever a função da seguinte forma: colocaremos a função dentro de um , pois:
Dessa forma, a expressão do nosso limite fica:
Passo 2
Desenvolvendo esse limite:
Agora podemos aplicar L’Hospital, aquela técnica que usamos pra resolver limites. Nela precisamos derivar o numerador e o denominador do nosso limite. Dessa forma, tendo:
Derivando primeiro o numerador:
E o denominador:
Portanto nosso limite fica com a cara:
Lembrando sempre das propriedades de limites tá galerinha? Uma propriedade que vamos usar agora é a de atribuir mais um operador de limite na função que está multiplicando o outro operador de limite:
Passo 3
Agora que montamos o limite, vamos responder! Temos que:
Aplicando L’hospital mais uma vez (separadamente em cada limite), temos:
Mas pera aí, quem é ? Isso mesmo, a questão nos dá! . Portanto:
Agora resolvendo o outro limite:
Aplicando o limite de derivação (0), temos:
Justando tudo:
Ou seja
E acabamos a questão, certo? ERRADO!
Passo 4
Nós calculamos o limite do expoente de , lembra? Nossa expressão era:
E como já achamos o valor do nosso limite, nossa expressão se torna:
Que pode ser escrita como:
E agora sim acabamos nossa questão! Item correto é o item d)
Resposta
d)