2º EE de Calculo 2 da UFPE - 2012.2

Sejam e os dois primeiros dígitos do seu cpf (por exemplo, seu cpf é , então e ). Considere a função .

1. Dados positivos, determine a equação do plano tangente ao gráfico de no ponto .
2. Determine o plano tangente ao gráfico de que forma com os planos coordenados o tetraedro de volume mínimo.

Dica: O volume do tetraedro é o valor da área da base multiplicado pela altura, dividido por .

Sejam os três primeiros dígitos do seu cpf (por exemplo, seu cpf é , então ). Considere o polinômio .

1. Mostre que admite um extremo local e classifique-o.
2. Sejam o ponto crítico encontrado no item anterior, e . Mostre que para todo , para algum dependente de e .
3. Mostre que é um extremo global.

Dica: Use a letra para mostrar que as imagens de retas em que passam por , são parábolas de mesma concavidade, independente de e .

Verifique que entre todos os triângulos, aquele cujo produto dos senos de seus ângulos internos é máximo, é o triângulo equilátero.

Lembrete: A soma dos ângulos internos de um triangulo é

O plano corta o paraboloide em uma elipse. Ache o ponto desta curva mais próximo da origem, e o mais distante. Use o método de Lagrange.

Sugestão: Esboce o gráfico.

O relevo na vizinhança de um passo, numa cadeia de montanhas, é dado aproximadamente por , onde é a altitude relativa ao nível do passo.

1. Qual a rota (direção) mais segura, associada a inclinação da estrada, para cruzar uma região circular em torno do passo?
2. Determine a região segura para a construção de uma estrada pelo passo, se o material da mesma e o peso médio dos veículos determinam uma inclinação máxima de a fim de não haver deslizamento.