Verifique que entre todos os triângulos, aquele cujo produto dos senos de seus ângulos internos é máximo, é o triângulo equilátero.

Lembrete: A soma dos ângulos internos de um triangulo é

Calculando os gradientes:

Utilizando o método dos multiplicadores de Lagrange:

O sistema de equações fica:

Eliminando o parâmetro , vamos ter:

Ajeitando essas equações, temos:

Colocando alguns termos em evidência:

Usando a propriedade , temos:

Como , segue que . Logo, do sistema de equações:

Da primeira equação, a única possibilidade é:

Pois . Fazendo o mesmo para as outras duas equações:

Então temos:

Como , temos:

E o triângulo cujos ângulos internos valem é o triângulo equilátero.