O plano corta o paraboloide em uma elipse. Ache o ponto desta curva mais próximo da origem, e o mais distante. Use o método de Lagrange.

Sugestão: Esboce o gráfico.

Definindo as restrições:

Calculando os gradientes:

Vamos ter:

O sistema de equações vai ficar:

Da segunda equação, vamos ter:

Então, vamos ter 2 casos.

Caso 1:

Da terceira equação:

Da primeira equação:

Da quarta equação:

Da ultima equação:

Não existe valor real de que satisfaça a equação.

Caso 2:

Da última equação

Porém da terceira equação:

Então:

Caso 2.1 :

Temos o ponto

Caso 2.2 :

Temos o ponto

Verificando os valores que a função assume nos pontos e , temos:

Logo o ponto , pertencente a interseção das superfícies, é o ponto mais próximo da origem (é a própria origem) e o ponto , pertencente a interseção das superfícies, é o ponto mais distante da origem.