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Exercícios Resolvidos de Plano Tangente

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Enunciado

UFPE, Cálculo 2, 2°EE, 2012.2, questão 1

Sejam m e m os dois primeiros dígitos do seu cpf (por exemplo, seu cpf é 123.456.789 - 0 , então m = 1 e n = 2 ). Considere a função f x , y = m + 1 + x n + 2 + y n + 2 .

  1. Dados x 0 , y 0 ∈ R positivos, determine a equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto x 0 , y 0 , f x 0 , y 0 .
  2. Determine o plano tangente ao gráfico de f que forma com os planos coordenados o tetraedro de volume mínimo.

Dica: O volume do tetraedro é o valor da área da base multiplicado pela altura, dividido por 3 .

Passo 1

  1. Vamos começar definindo a função F x , y , z :

    2. z = m + 1 + x n + 2 + y n + 2

    F x , y , z = z - m + 1 - x n + 2 - y n + 2

    Passo 2

    Encontrando as derivadas parciais de F x , y , z , num ponto qualquer x 0 , y 0 , f x 0 , y 0 temos:

    F x = - n + 2 x 0 n + 1

    F y = - n + 2 y 0 n + 1

    F z = 1

    Passo 3

    A equação do plano tangente será:

    F x x - x 0 + F y y - y 0 + F z z - f x 0 , y 0 = 0

    - n + 2 x 0 n + 1 x - x 0 - n + 2 y 0 n + 1 y - y 0 + z - f x 0 , y 0 = 0

    Ajeitando:

    z = f x 0 , y 0 + n + 2 x 0 n + 1 x - x 0 + n + 2 y 0 n + 1 y - y 0

    Passo 4

  2. Vamos organizar as informações pra gente não se enrolar. Imagine que o plano tangente intercepta os eixos x , y e z , respectivamente, nos pontos arbitrários:

P 1 = a , 0,0

P 2 = 0 , b , 0

P 3 = 0,0 , c

Passo 2

Porém esses pontos pertencem ao plano tangente. No ponto P 1 , fazendo x , y , z = a , 0,0 , temos:

z = f x 0 , y 0 + n + 2 x 0 n + 1 x - x 0 + n + 2 y 0 n + 1 y - y 0

0 = f x 0 , y 0 + n + 2 x 0 n + 1 a - x 0 + n + 2 y 0 n + 1 0 - y 0

Porém f x 0 , y 0 = m + 1 + x 0 n + 2 + y 0 n + 2 , substituindo:

0 = m + 1 + x 0 n + 2 + y 0 n + 2 + n + 2 x 0 n + 1 a - x 0 - n + 2 y 0 n + 2

0 = m + 1 + x 0 n + 2 + y 0 n + 2 + n + 2 x 0 n + 1 a - n + 2 x 0 n + 2 - n + 2 y 0 n + 2

Ajeitando, temos:

a = - m + 1 + n + 1 x 0 n + 2 + n + 1 y 0 n + 2 n + 2 x 0 n + 1

Passo 3

Utilizando o mesmo racicionio para 0 , b , 0 , temos:

0 = m + 1 + x 0 n + 2 + y 0 n + 2 - n + 2 x 0 n + 2 + n + 2 y 0 n + 1 b - n + 2 y 0 n + 2

b = - m + 1 + n + 1 x 0 n + 2 + n + 1 y 0 n + 2 n + 2 y 0 n + 1

O mesmo procedimento para 0,0 , c , temos:

c = m + 1 + x 0 n + 2 + y 0 n + 2 - n + 2 x 0 n + 2 - n + 2 y 0 n + 2

c = m + 1 - n + 1 x 0 n + 2 - n + 1 y 0 n + 2

Passo 4

O volume do tetraedro é dado por

V = a b c 6

Substituindo:

V = m + 1 - n + 1 x 0 n + 2 - n + 1 y 0 n + 2 3 6 n + 2 2 x 0 n + 1 y 0 n + 1

Resposta

  1. z = f x 0 , y 0 + n + 2 x 0 n + 1 x - x 0 + n + 2 y 0 n + 1 y - y 0
  2. V = m + 1 - n + 1 x 0 n + 2 - n + 1 y 0 n + 2 3 6 n + 2 2 x 0 n + 1 y 0 n + 1

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