O relevo na vizinhança de um passo, numa cadeia de montanhas, é dado aproximadamente por , onde é a altitude relativa ao nível do passo.
- Qual a rota (direção) mais segura, associada a inclinação da estrada, para cruzar uma região circular em torno do passo?
- Determine a região segura para a construção de uma estrada pelo passo, se o material da mesma e o peso médio dos veículos determinam uma inclinação máxima de a fim de não haver deslizamento.
Passo 1
- A direção mais segura será aquela em que a altura tiver a menor taxa de variação possível, ou seja, zero. Como representa a altitude, teremos:
- A taxa de variação de um deslocamento na direção da inclinação é dada por . É só você pensar que taxa de variação é o , onde o vai ser o seno e o vai ser o cosseno. Beleza?
Passo 2
Na região circular em seu entorno, podemos fazer:
Calculando o gradiente:
Na vizinhança:
Passo 3
Vamos supor que a direção do vetor seja a de menor inclinação. Então, partindo nessa direção, o vetor terá as coordenadas:
Veja na figura a seguir:
Como o gradiente tem coordenadas
Então, o ângulo entre esses dois vetores é , pois devido a segunda componente do gradiente, , sua componente é “negativa”. Veja a figura para melhor entender:
Passo 4
Sabendo que o módulo do gradiente é:
A derivada direcional fica:
Então, temos:
Então, a direção a ser tomada é
Passo 4
Passo 2
Já vimos que:
Como é a inclinação máxima, vamos ter: