P2 de Cálculo 2 da UNICAMP - 2019.1

1. Calcule a integral dupla da função sobre a região triangular de vértices .
2. A integral acima expressa o volume de qual sólido?

A temperatura de uma placa quadrada de lado centrada na origem (e bordos paralelos aos eixos) é descrita pela função:

1. Determine os pontos críticos de e classifique-os.
2. Quais as temperaturas máxima e mínima da placa e onde elas ocorrem?
3. Escolha um dos pontos críticos e dê a aproximação de no entorno deste ponto, escrevendo seu polinômio de Taylor de segunda ordem (grau 2)
4. A partir do ponto em que direções a temperatura aumenta?

Considere a figura abaixo que representa as curvas de nível de uma função com derivadas parciais contínuas e uma restrição . (Circunferência)

a) Marque na figura todos os pontos críticos de .

b) Tendo por base o valor das curvas de nível indicado na figura classifique os pontos críticos em a)

c) Desenhe na figura o vetor gradiente da função no ponto

d) Indique, com um X sobre a figura, os pontos que são solução do seguinte sistema:

e) Olhando para a figura, você consegue concluir onde ocorrem os valores máximo e mínimo da função restrita à circunferência?

Suponha que uma função de 3 variáveis com derivadas contínuas até a segunda ordem tenha todas as derivadas parciais se anulando em um ponto. Como a partir da matriz hessiana neste ponto você pode classificar este ponto crítico.