Suponha que uma função de 3 variáveis com derivadas contínuas até a segunda ordem tenha todas as derivadas parciais se anulando em um ponto. Como a partir da matriz hessiana neste ponto você pode classificar este ponto crítico.

Digamos que a gente tem um ponto

Nele, todas derivadas parciais de primeira ordem zeram. Então ele é um ponto crítico da função . Vamos usar a matriz hessiana para classificar ele.

Para funções de duas variáveis, ela tinha essa cara:

Mas como é a matriz hessiana dessa função com 3 variáveis? Ela tem essa cara:

Como a gente tem 3 variáveis, a matriz agora é .

Mas repara que na diagonal a gente contínua tendo as derivadas de segunda ordem, e nas outras casinhas a gente tem as derivadas mistas, num padrão bem parecido com a matriz para .

Tá beleza! Mas o que mais muda? Cara, antes a gente só calculava o determinante da matriz hessiana para , mas agora a gente vai precisar calcular os autovalores da nossa matriz .

E como faz isso? Basicamente, é resolver essa equação:

Onde é a matriz identidade. Isso normalmente cai numa equação de grau. Aí daí temos 3 raízes, ou seja, três autovalores

Aí é só analisar isso aqui:

1. Se todos os autovalores são positivos, então temos um ponto de mínimo;
2. Se todos os autovalores são negativos, então temos um ponto de máximo;
3. Se os autovalores alternam entre positivos e negativos, então temos um ponto de sela.

E é assim que você classifica seus pontinhos em . Fofo, né? haha