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P-SUB de Cálculo 2 da USP - 2012

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Cálculo 2 - USP

Seja a função

f x , y = x 5   3 s e n x 4 + y 4 3 x 2 + y 2 ,     s e   x , y ≠ ( 0,0 ) 0 ,     s e   x , y = ( 0,0 )

(a) Mostre que f é contínua em ( 0,0 ) .

(b) Calcule ∂ f ∂ x ( 0,0 ) e ∂ f ∂ y ( 0,0 ) .

(c) A função f é diferenciável em ( 0,0 ) ? Justifique sua resposta.

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Seja f = f ( x , y ) uma função diferenciável tal que z = 3 x + y - 2 é equação do plano tangente a f em ( 1,1 , f 1,1 ) .

(a) Obtenha ∂ f ∂ x ( 1,1 ) e ∂ f ∂ y ( 1,1 ) .

(b) Seja g u , v = f ( u 2 + 3 v , v 2 ) . Obtenha as expressões de ∂ g ∂ u u , v   e ∂ g ∂ v u , v em função das derivadas parciais de f .

(c) Seja γ uma curva diferenciável tal que a sua imagem está contida na intersecção do gráfico de g com a superfície S = { u , v , w ∈ R 3   :   u 2 + v 2 + w 2 - 4 u + 2 v + 1 = 0 } . Dê a equação da reta tangente a γ no ponto ( 2 , - 1 , g 2 , - 1 ) .

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Seja f x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 - x y - 2 z . Encontre os pontos de máximo e mínimo de f no conjunto K = { x , y , z ∈ R 3   :   x 2 + y 2 + z 2 ≤ 3 e z ≥ - 1 } .

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Sejam m número real, m ≠ 0 e f x , y = x 4 + m y 2 - 2 x ² .

(a) Classifique os pontos críticos de f em função de m .

(b) Considere m = 2 . Encontre os valores máximo e mínimo de f no conjunto

C = { x , y ∈ R 2   : - 1 ≤ x ≤ 1 , x 2 ≤ y ≤ 1 }

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Listas de Exercícios Resolvidos

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